Qual é o erro máximo cometido na aproximação de I=integral0^4(3 x^3-3 x+1) d x pela regra dos retângulos repetida com quatro subintervalos?

Passo 1

O enunciado pede o erro máximo ao aproximar a integral I=integral0^4(3x^3 - 3x + 1),dx pela regra dos retângulos repetida com quatro subintervalos. O conteúdo é integração numérica e vamos usar o limite do erro para a regra dos retângulos, que depende de f'(x).

Passo 2

A função é f(x)=3x^3 - 3x + 1. Calculamos a derivada:
f'(x)=9x^2 - 3

Passo 3

No intervalo [0,4], o máximo de |f'(x)| ocorre em x=4, pois f'(0)=-3 e f'(4)=144-3=141. Logo, M1=141.

Passo 4

A fórmula do erro para a regra dos retângulos (esquerdo ou direito) com passo h=(b-a)/n é
|E|<= (b-a)^22nM1

Passo 5

Aqui a=0, b=4, n=4, então h=1 e
(b-a)^22n=4^22cdot4=168=2

Passo 6

Multiplicando por M1=141 obtemos o erro máximo:
|E|<= 2times141=282

Resposta

O erro máximo na aproximação é 282.

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