Calcule usando coordenadas cilíndricas e simetria.
integral triplaB(x^2+y^2) d V, onde E está entre os paraboloides z=x^2+y^2 e z=2-x^2-y^2

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral tripla integral triplaE(x^2+y^2),dV sobre a região limitada pelos paraboloides z = x^2+y^2 e z = 2 - (x^2+y^2). O conteúdo é integração em coordenadas cilíndricas e vamos usar simetria circular para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas introduzimos x = rcostheta, y = rsintheta e z = z. Nessa parametrização, x^2+y^2=r^2 e o elemento de volume é dV = r,dz,dr,dtheta.

Passo 3

Precisamos achar os limites de r. Eles vêm da interseção dos paraboloides:
r^2 = 2 - r^2 Longrightarrow 2r^2 = 2 Longrightarrow r^2 = 1 Longrightarrow r = 1

Passo 4

Logo, r varia de 0 a 1, theta de 0 a 2pi e, para cada r, z vai de r^2 até 2 - r^2. Montando a integral em cilindricas:
integral triplaE(x^2+y^2),dV = integraltheta=0^2pi integralr=0^1 integralz=r^2^2 - r^2 r^2 l(r,dzr),dr,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em z:
integralz=r^2^2 - r^2 r^3 ,dz = r^3l[(2 - r^2) - r^2r] = r^3(2 - 2r^2) = 2r^3 - 2r^5

Passo 6

Agora a integral reduz-se a
integral0^2pi dtheta integral0^1 (2r^3 - 2r^5),dr = 2pi integral0^1 (2r^3 - 2r^5),dr

Passo 7

Computando a integral em r:
integral0^1 2r^3 ,dr = 2cdot tfrac14 = tfrac12,
integral0^1 2r^5 ,dr = 2cdot tfrac16 = tfrac13,

Passo 8

então
2pi l(tfrac12 - tfrac13r) = 2pi cdot tfrac16 = tfrac2pi6 = tfracpi3

Resposta

pi3

Exercícios relacionados