Calcule usando coordenadas cilíndricas e simetria.
, onde
está entre os paraboloides
e
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral tripla
sobre a região limitada pelos paraboloides
e
. O conteúdo é integração em coordenadas cilíndricas e vamos usar simetria circular para simplificar.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas introduzimos
,
e
. Nessa parametrização,
e o elemento de volume é
.
Passo 3
Precisamos achar os limites de
. Eles vêm da interseção dos paraboloides:
Passo 4
Logo,
varia de 0 a 1,
de 0 a
e, para cada
,
vai de
até
. Montando a integral em cilindricas:
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Passo 6
Agora a integral reduz-se a
Passo 7
Computando a integral em
:
Passo 8
então