Determine, caso existam e usando curvas de nível, os valores máximo e mínimo de
em
; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
e
e
e
.
Passo 1
O problema é otimizar a função f(x,y)=x+y sobre a região A dada por x≥0, y≥0, x+2y≤7, 2x+y≤5 e y≥x−1. Como f é linear e A é um polígono convexo, seus valores extremos ocorrem nos vértices de A.
Para entender por que basta olhar as curvas de nível de f: cada curva é a reta x+y=c (inclinada a −45°). À medida que c cresce, essa reta “sobe” no plano. Sobre uma região convexa, o máximo e o mínimo de f ficam nos vértices de A, pois é aí que a reta mais distante/intersecta a região.
Para entender por que basta olhar as curvas de nível de f: cada curva é a reta x+y=c (inclinada a −45°). À medida que c cresce, essa reta “sobe” no plano. Sobre uma região convexa, o máximo e o mínimo de f ficam nos vértices de A, pois é aí que a reta mais distante/intersecta a região.
Passo 2
Vamos achar todos os vértices candidatos resolvendo interseções de pares de fronteiras (linhas):
Interseção de x+2y=7 e 2x+y=5:
Interseção de 2x+y=5 e y=x−1:
Interseção de y=x−1 com y=0: dá x=1, y=0.
Interseções com eixos:
– x=0 e x+2y=7: y=3.5 → (0,3.5).
– x=0 e y=0: (0,0).
Interseções com eixos:
– x=0 e x+2y=7: y=3.5 → (0,3.5).
– x=0 e y=0: (0,0).
Passo 3
Agora filtramos quais desses pontos satisfazem todas as desigualdades de A:
(0,0): ok.
(1,0): ok.
(2,1): ok.
(1,3): ok.
(0,3.5): ok.
Nenhum outro candidato ficou dentro de A.
(0,0): ok.
(1,0): ok.
(2,1): ok.
(1,3): ok.
(0,3.5): ok.
Nenhum outro candidato ficou dentro de A.
Passo 4
Por fim, avaliamos f=x+y em cada vértice:
– f(0,0)=0
– f(1,0)=1
– f(2,1)=3
– f(1,3)=4
– f(0,3.5)=3.5
– f(0,0)=0
– f(1,0)=1
– f(2,1)=3
– f(1,3)=4
– f(0,3.5)=3.5
Logo, o valor mínimo é 0 em (0,0) e o valor máximo é 4 em (1,3).
Resposta
Mínimo de f=0 em (0,0) e máximo de f=4 em (1,3).