Calcule, usando coordenadas esféricas
11. integral triplaW d x d y d z(raizx^2+y^2+z^2)^3, onde W é o sólido limitado pelas esferas:
x^2+y^2+z^2=a^2 e x^2+y^2+z^2=b^2,(a.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla integral triplaWdx,dy,dz(raizx^2+y^2+z^2)^3, onde W é a região limitada pelas esferas x^2+y^2+z^2=a^2 e x^2+y^2+z^2=b^2 com a. O conteúdo principal é mudança para coordenadas esféricas e integração em coordenadas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=ρsinφcosθ, y=ρsinφsinθ, z=ρcosφ,
com o elemento de volume
dV=ρ^2sinφ,dρ,dφ,dθ
Assim a integral fica
integral triplaWdx,dy,dz(raizx^2+y^2+z^2)^3 =integralρ=a^bintegralφ=0^πintegralθ=0^2πρ^2sinφρ^3,dθ,dφ,dρ =integrala^bintegral0^πintegral0^2πsinφρ,dθ,dφ,dρ

Passo 3

Como a região é completa em ângulo, integramos primeiro em θ e φ:
integralθ=0^2πdθ=2π, integralφ=0^πsinφ,dφ=2
Portanto a parte angular vale .

Passo 4

Fica então a integral radial
4πintegralρ=a^b1ρ,dρ =4πl[lnρr]a^b =4πlnba

Resposta

4pilnba

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