Calcule o valor aproximado de I=integral0^0,6 d x1+x com erro inferior a 10^-4, usando a regra dos retângulos e a regra dos retângulos repetida.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o integral I=integral0^0,6dx1+x com duas versões da regra dos retângulos: uma única e a repetida (composta), garantindo erro menor que 10^-4. Vamos usar teoria de quadratura e estimar o número de subintervalos.

Passo 2

Para a regra dos retângulos simples (usando o ponto médio do intervalo): o ponto médio de [0,0,6] é xm=0,3. A regra diz:
Iapprox (b-a),f(xm) = 0,6 cdot 11+0,3 = 0,6cdot 11,3 approx 0,46153846

Passo 3

Para a regra composta dos retângulos (ponto médio) precisamos estimar n tal que o erro seja <10^-4. Sabemos que, para o ponto médio composto,
l|Er|<= (b-a)24h^2max[a,b]|f''(x)|,
com h=(b-a)/n e f(x)=1/(1+x) f''(x)=2/(1+x)^3. No intervalo [0,0,6] temos max f''=2. Logo,
|E|<= 0,624h^2cdot2 =0,05,h^2 <10^-4 implies h^2<0,002 implies h<0,04472
Portanto
n>0,60,04472approx13,4 implies n=15é suficiente.

Passo 4

Com n=15 subintervalos, cada largura é h=0,6/15=0,04 e os pontos médios são xi^*=(i-0,5)h, i=1,dots,15. Calculando
Iapprox hsumi=1^15 11+xi^* approx 0,04times11,74908 approx0,4699632,
o que garante erro menor que 10^-4.

Passo 5

Confirmamos que o valor exato é ln(1,6)approx0,4700036, logo o erro na regra composta é approx4times10^-5<10^-4.

Resposta

Regra dos retângulos simples (ponto médio): ,0,46153846\nRegra composta com n=15: ,0,4699632 (erro <10^{-4})

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