Calcule o valor aproximado de com erro inferior a , usando a regra dos retângulos e a regra dos retângulos repetida.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar o integral com duas versões da regra dos retângulos: uma única e a repetida (composta), garantindo erro menor que . Vamos usar teoria de quadratura e estimar o número de subintervalos.
Passo 2
Para a regra dos retângulos simples (usando o ponto médio do intervalo): o ponto médio de é . A regra diz:
Passo 3
Para a regra composta dos retângulos (ponto médio) precisamos estimar tal que o erro seja . Sabemos que, para o ponto médio composto,
com h=(b-a)/n e f(x)=1/(1+x) dá f''(x)=2/(1+x)^3. No intervalo [0,0,6] temos max f''=2. Logo, |E|<= 0,624h^2cdot2 =0,05,h^2 <10^-4 implies h^2<0,002 implies h<0,04472
Portanto
n>0,60,04472approx13,4 implies n=15é suficiente.
Passo 4
Com n=15 subintervalos, cada largura é h=0,6/15=0,04 e os pontos médios são xi^*=(i-0,5)h, i=1,dots,15. Calculando
Iapprox hsumi=1^15 11+xi^* approx 0,04times11,74908 approx0,4699632,
o que garante erro menor que 10^-4.
Passo 5
Confirmamos que o valor exato é ln(1,6)approx0,4700036, logo o erro na regra composta é approx4times10^-5<10^-4.
Resposta
Regra dos retângulos simples (ponto médio): ,0,46153846\nRegra composta com n=15: ,0,4699632 (erro <10^{-4})