Calcule o volume do sólido limitado:
© Por z=x^2+9 y^2 e z=18-x^2-9 y^2.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido limitado pelas superfícies z = x^2 + 9y^2 e z = 18 - x^2 - 9y^2. O conteúdo aqui é cálculo de volume via integração dupla, e vamos precisar usar projeção no plano xy e mudança de variáveis (elíptica e polares).

Passo 2

Para achar a projeção do sólido no plano xy, igualamos as duas superfícies:
x^2 + 9y^2 = 18 - x^2 - 9y^2
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2x^2 + 18y^2 = 18 iff x^29 + y^2 = 1
Isso define uma elipse R:,x^2/9 + y^2 <= 1.

Passo 3

Montamos o volume como diferença entre topo e fundo:
V = integral duplaR l((18 - x^2 - 9y^2) - (x^2 + 9y^2)r),dA = integral duplaR (18 - 2x^2 - 18y^2),dA

Passo 4

Para simplificar a região elíptica, fazemos a mudança x = 3u, y = v. A região vira o disco u^2 + v^2 <= 1 e o jacobiano dá dA = 3,du,dv. O integrando fica
18 - 2(3u)^2 - 18v^2 = 18 - 18u^2 - 18v^2,
então
V = integral duplau^2+v^2<=1 (18 - 18u^2 - 18v^2) cdot 3,du,dv = 54 integral duplau^2+v^2<=1 (1 - u^2 - v^2),du,dv
Agora passamos a coordenadas polares em (u,v): u = rcostheta, v = rsintheta, du,dv = r,dr,dtheta, com 0 <= r <= 1, 0 <= theta < 2pi.

Passo 5

Calculamos a integral em polares:
V = 54 integral0^2pi integral0^1 (1 - r^2),r,dr,dtheta = 54 integral0^2pi l(integral0^1 (r - r^3),drr) dtheta
A parte em r é
integral0^1 (r - r^3),dr = l[tfracr^22 - tfracr^44r]0^1 = tfrac12 - tfrac14 = tfrac14,
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V = 54 cdot integral0^2pi tfrac14,dtheta = 54 cdot tfrac14 cdot 2pi = 27pi

Resposta

27pi

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