Calcule o volume do sólido limitado:
©
.
©
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
e
. O conteúdo aqui é cálculo de volume via integração dupla, e vamos precisar usar projeção no plano
e mudança de variáveis (elíptica e polares).
Passo 2
Para achar a projeção do sólido no plano
, igualamos as duas superfícies:
Logo
Isso define uma elipse
.
Passo 3
Montamos o volume como diferença entre topo e fundo:
Passo 4
Para simplificar a região elíptica, fazemos a mudança
,
. A região vira o disco
e o jacobiano dá
. O integrando fica
então
Agora passamos a coordenadas polares em
:
,
,
, com
,
.
Passo 5
Calculamos a integral em polares:
A parte em
logo