Calcule, usando coordenadas esféricas, calcule:
(a) integral triplaW(x^2+y^2) d x d y d z, onde W=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2+z^2 <= a^2, z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral tripla integral triplaW (x^2+y^2),dx,dy,dz, onde W é a semiesfera sólida de raio a com z>=0. O conteúdo envolvido é mudança pra coordenadas esféricas. Vamos usar as fórmulas de transformação e o jacobiano pra passar (x,y,z) pra (rho,phi,theta).

Passo 2

Na mudança pra coordenadas esféricas temos as definições:
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
e o jacobiano , o integrando fica dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta Como (x^2+y^2=rho^2sin^2phi. Assim
Os limites são: rho^2sin^2phi, (x^2+y^2),dV=(rho^2sin^2phi),(rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta)=rho^4sin^3phi,drho,dphi,dtheta (semiesfera superior) e 0<=rho<= a. Então a integral separa em três:

Passo 3

Agora basta calcular cada uma:
  1. $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi. $
  2. integral0^2pidtheta=2pi (usando identidades de redução).
  3. integral0^pi/2sin^3phi,dphi=tfrac23.
    Multiplicando: integral0^arho^4,drho=tfraca^55.

Resposta

4pi a^515

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