Calcule, usando coordenadas esféricas, calcule:
(a)
, onde
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral tripla
, onde
é a semiesfera sólida de raio
com
. O conteúdo envolvido é mudança pra coordenadas esféricas. Vamos usar as fórmulas de transformação e o jacobiano pra passar
pra
.
Passo 2
Na mudança pra coordenadas esféricas temos as definições:
e o jacobiano , o integrando fica
Os limites são:
,
(semiesfera superior) e
. Então a integral separa em três:
Passo 3
Agora basta calcular cada uma:
- $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi. $
-
(usando identidades de redução). -
.
Multiplicando:.