Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
sumn=0^infty x^2 ne^n^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty x^2ne^n^2. O conteúdo principal é teste de convergência de séries de potências e vamos usar o critério da raiz (ou de Cauchy) para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz: analisamos o n-ésimo termo geral bn = x^2ne^n^2. Como só há termos para potências pares de x, usamos o n-ésimo índice da soma original. Calculamos
limntoinfty raiz[n]|bn| = limntoinfty raiz[n]|x|^2ne^n^2

Passo 3

Dentro da raiz obtemos
raiz[n]|bn| = |x|^2e^n
À medida que ntoinfty, o fator e^n cresce muito mais rápido, então
limntoinfty |x|^2e^n = 0
Pelo teste da raiz, se o limite é menor que 1, a série converge absolutamente.

Passo 4

Como o limite é zero para todo xinR, concluímos que a série converge para qualquer valor de x. Isso significa que o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo o eixo real. Não há pontos extremos a testar, já que o intervalo de convergência é ( -infty, +infty ).

Resposta

Raio de convergência: R = ∞. Intervalo de convergência: (−∞, +∞).

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