Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
. O conteúdo principal é teste de convergência de séries de potências e vamos usar o critério da raiz (ou de Cauchy) para determinar o raio de convergência.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz: analisamos o
-ésimo termo geral
. Como só há termos para potências pares de
, usamos o
-ésimo índice da soma original. Calculamos
Passo 3
Dentro da raiz obtemos
À medida que
, o fator
cresce muito mais rápido, então
Pelo teste da raiz, se o limite é menor que 1, a série converge absolutamente.
Passo 4
Como o limite é zero para todo
, concluímos que a série converge para qualquer valor de
. Isso significa que o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo o eixo real. Não há pontos extremos a testar, já que o intervalo de convergência é
.
Resposta
Raio de convergência: R = ∞. Intervalo de convergência: (−∞, +∞).