Calcule, usando coordenadas esféricas
10. integral triplaW(x^2+y^2+z^2) d x d y d z, onde W=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

Queremos calcular a integral tripla de (x^2+y^2+z^2)) sobre a região W=(x,y,z):x^2+y^2+z^2<=1. O conteúdo é integração em coordenadas esféricas e vamos precisar da transformação esférica, do jacobiano rho^2sinphi e dos limites adequados.

Passo 2

Em coordenadas esféricas fazemos as substituições x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi. Isso implica
x^2+y^2+z^2=rho^2
dx,dy,dz=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Logo, o integrando x^2+y^2+z^2 multiplicado pelo elemento de volume vira
rho^2cdot(rho^2sinphi)=rho^4sinphi

Passo 3

Os limites de integração são rho de 0 a 1, phi de 0 a pi e theta de 0 a 2pi. Assim
integral triplaW(x^2+y^2+z^2),dx,dy,dz=integral0^2pi!dthetaintegral0^pi!sinphi,dphiintegral0^1!rho^4,drho

Passo 4

Separamos em três integrais:
integral0^2pi!dtheta=2pi,integral0^pi!sinphi,dphi=2,integral0^1!rho^4,drho=15

Passo 5

Multiplicando os resultados obtemos
2pitimes2times15=4pi5

Resposta

4pi5

Exercícios relacionados