Sejam as seguintes integrais
(a) integral0^4(1-e^-2 x) d x
(b) integral0^pi / 2(6+3 cos x) d x
(c) integral-2^4(1-x-4 x^3+2 x^5) d x
(d) integral2^14 d xraizx
Calcule um valor aproximado usando:
v) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10^-5, usando a regra 1 / 3 de Simpson repetida.

Passo 1

No enunciado temos quatro integrais e o objetivo é determinar, para cada uma, o número de subintervalos n da regra composta de Simpson 1/3 de modo que o erro seja inferior a 10^{-5}. Vamos precisar da fórmula de erro dessa regra e das derivadas de quarta ordem das funções em seus respectivos intervalos.

Passo 2

Para a regra composta de Simpson 1/3, dividido [a,b] em n subintervalos iguais de tamanho h=(b-a)/n com n par, o erro ES satisfaz
|ES| <= (b-a)180,h^4,M4
onde M4=maxxin[a,b]|f^(4)(x)|.

Passo 3

Para (a): f(x)=1-e^-2x em [0,4]. Calculando as derivadas,
f^(4)(x)=16e^-2x,
e o máximo em [0,4] ocorre em x=0, logo M4=16. Substituindo na desigualdade
4180(4n)^4cdot16 <= 10^-5,
obtemos n>=54,9. Como n deve ser par, escolhemos n=56.

Passo 4

Para (b): f(x)=6+3cos x em [0,pi/2]. As derivadas levam a
f^(4)(x)=3cos x,
cujo valor máximo é M4=3. Aqui b-a=pi/2, então
(pi/2)180(pi/2n)^4cdot3 <= 10^-5 Rightarrow n>=11,24
Arredondando para o par mais próximo, temos n=12.

Passo 5

Para ©: f(x)=1-x-4x^3+2x^5 em [-2,4]. Calculando,
f^(4)(x)=240x,
o maior valor absoluto em [-2,4] é em x=4, logo M4=960. Como b-a=6,
6180(6n)^4cdot960 <= 10^-5 Rightarrow n>=253,7
Tomando n par e maior, fica n=254.

Passo 6

Para (d): f(x)=x^-1/2 em [2,14]. Tem-se
f^(4)(x)=10516x^-9/2,
otendo que o máximo em [2,14] ocorre em x=2, dando
M4=10516,2^-9/2approx0,290
Com b-a=12,
$$
\frac{12}{180}\left(\frac{12}{n}\right)^4\cdot0,290 \le 10^{-5} \ \Rightarrow\ n\ge79,6.
$$
Arredondando para par, obtemos 12180(12n)^4cdot0,290 <= 10^-5 Rightarrow n>=79,6 .

Resposta

n_a = 56, n_b = 12, n_c = 254, n_d = 80

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