Sejam as seguintes integrais
Calcule um valor aproximado usando:
v) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
, usando a regra
de Simpson repetida.
Calcule um valor aproximado usando:
v) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
Passo 1
No enunciado temos quatro integrais e o objetivo é determinar, para cada uma, o número de subintervalos n da regra composta de Simpson 1/3 de modo que o erro seja inferior a 10^{-5}. Vamos precisar da fórmula de erro dessa regra e das derivadas de quarta ordem das funções em seus respectivos intervalos.
Passo 2
Para a regra composta de Simpson 1/3, dividido [a,b] em n subintervalos iguais de tamanho
com n par, o erro
satisfaz
onde
.
Passo 3
Para (a):
em
. Calculando as derivadas,
e o máximo em
ocorre em
, logo
. Substituindo na desigualdade
obtemos
. Como n deve ser par, escolhemos
.
Passo 4
Para (b):
em
. As derivadas levam a
cujo valor máximo é
. Aqui
, então
Arredondando para o par mais próximo, temos
.
Passo 5
Para ©:
em
. Calculando,
o maior valor absoluto em
é em
, logo
. Como
,
Tomando n par e maior, fica
.
Passo 6
Para (d):
em
. Tem-se
otendo que o máximo em
ocorre em
, dando
Com
$$
\frac{12}{180}\left(\frac{12}{n}\right)^4\cdot0,290 \le 10^{-5} \ \Rightarrow\ n\ge79,6.
$$
Arredondando para par, obtemos .
Arredondando para par, obtemos
Resposta
n_a = 56, n_b = 12, n_c = 254, n_d = 80