Calcule, usando coordenadas esféricas, calcule:
(b) integral triplaW raiz1+(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d x d y d z, onde W=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

Estamos calculando a integral
integral triplaW raiz1 + (x^2 + y^2 + z^2)^3/2,dx,dy,dz,
em que W = {(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x2+y2+z^2\le1}. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, usando x=rsinphicostheta, y=rsinphisintheta, z=rcosphi e dV=r^2sinphi,dr,dphi,dtheta.

Passo 2

Como (x^2+y^2+z^2)^3/2=r^3, o integrando vira raiz1+r^3 e o elemento de volume é r^2sinphi,dr,dphi,dtheta. Assim a integral passa a ser
integral0^2piintegral0^piintegral0^1r^2raiz1+r^3,sinphi,dr,dphi,dtheta

Passo 3

As integrais angulares separam: integral0^2pidtheta=2pi e integral0^pisinphi,dphi=2, logo sobra
4piintegral0^1r^2raiz1+r^3,dr

Passo 4

Para a parte radial fazemos a substituição u=1+r^3, então du=3r^2,dr e r^2,dr=du/3. Os limites vão de u(0)=1 a u(1)=2. Assim
integral0^1r^2raiz1+r^3,dr = 13integral1^2u^1/2,du = 13cdot23l[u^3/2r]1^2 = 29(2^3/2-1)

Resposta

8pi9(2raiz2-1)

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