Calcule o volume do sólido limitado:
(d) Por z=2 x^2+2 y^2 e z=48-x^2-y^2.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido limitado pelas superfícies z=2x^2+2y^2 (parte de baixo) e z=48 - x^2 - y^2 (parte de cima). O conteúdo que vamos usar é o de integrais duplas em coordenadas polares para calcular volumes, convertendo (x,y) em (rcostheta,,rsintheta) e usando dA = r,dr,dtheta.

Passo 2

Para achar a região de projeção no plano xy, igualamos as duas superfícies:
2(x^2+y^2) = 48 - (x^2+y^2)
Isso dá 3(x^2+y^2)=48, ou seja x^2+y^2<=16. Em coordenadas polares isso vira 0<= r<=4 e 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Agora montamos a integral do volume como
V = integral duplaR l[ztopo - zfundor],dA = integral0^2pi!integral0^4 l[(48 - r^2) - 2r^2r];r,dr,dtheta
No integrando temos (48 - r^2) - 2r^2 = 48 - 3r^2, então a integral em r é
integral0^4 (48 - 3r^2),r,dr = integral0^4 (48r - 3r^3),dr = l[24r^2 - tfrac34r^4r]0^4 = 24cdot16 - tfrac34cdot256 = 384 - 192 = 192

Passo 4

Por fim, integramos em theta:
$$
V = \int_{0}^{2\pi} 192;d\theta = 192 \times 2\pi = 384\pi.$$

Resposta

384pi

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