Calcule o volume do sólido limitado:
(d) Por
.
(d) Por
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
(parte de baixo) e
(parte de cima). O conteúdo que vamos usar é o de integrais duplas em coordenadas polares para calcular volumes, convertendo
em
e usando
.
Passo 2
Para achar a região de projeção no plano
, igualamos as duas superfícies:
Isso dá
, ou seja
. Em coordenadas polares isso vira
e
.
Passo 3
Agora montamos a integral do volume como
No integrando temos
, então a integral em
é
Passo 4
Por fim, integramos em
:
$$
V = \int_{0}^{2\pi} 192;d\theta = 192 \times 2\pi = 384\pi.$$