Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas:
(a) integral duplaD e^x^2+y^2 d x d y, sendo D=(x, y) / x^2+y^2 <= 1

Passo 1

A gente tem que calcular a integral dupla integral duplaD e^x^2+y^2,dx,dy sobre o disco D:,x^2+y^2<=1. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares e usar o elemento de área dA = r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x = rcostheta, y = rsintheta e x^2+y^2=r^2. O elemento de área fica dx,dy = r,dr,dtheta. Como o domínio D é o disco de raio 1, temos rin[0,1] e thetain[0,2pi]. A integral se transforma em

Passo 3

Agora, dentro de integral0^1e^r^2,r,dr usamos a substituição u=r^2, logo du=2r,dr ou r,dr=du2. A integral em r vira

Passo 4

Falta só a parte angular: integral0^2pidtheta=2pi. Multiplicando pelo resultado radial, obtemos

Resposta

pi(e-1)

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