Calcule usando coordenadas polares: integral duplaD(x+y) d x d y para D delimitada por x=0, x=2, y=0 e y=x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD (x+y),dx,dy sobre a região D limitada pelas retas x=0, x=2, y=0 e y=x+1. O assunto é integral dupla e vamos usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração, escolhendo coordenadas cartesianas (pois, apesar do pedido, D não é radial).

Passo 2

A região D em coordenadas cartesianas é descrita por
x
Ou seja, para cada y de 0 a 2, x+1 varia de 0 até .

Passo 3

Escrevemos a integral iterada:
integral duplaD (x+y),dx,dy = integralx=0^2(integraly=0^x+1(x+y),dy)dx

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
integral0^x+1(x+y),dy = integral0^x+1x,dy + integral0^x+1y,dy = x,(x+1) + (x+1)^22
Simplificando:
x(x+1) + (x+1)^22 = 2x(x+1) + (x+1)^22 = 2x^2+2x + x^2+2x+12 = 3x^2+4x+12

Passo 5

Agora a integral externa em x:
integral0^2 3x^2+4x+12,dx = 12integral0^2 (3x^2+4x+1),dx
Calculando:
integral0^23x^2,dx = x^3|0^2 = 8, integral0^24x,dx = 2x^2|0^2 = 8, integral0^21,dx = 2
Então
12(8+8+2) = 182 = 9

Passo 6

Portanto, o valor da integral dupla é 9.

Resposta

9

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