A derivada de f(x, y, z) em um ponto P é máxima na direção de v=imath+jmath-k. Nessa direção, o valor da derivada é 2 raiz3.
a) Qual é o gradiente de fem P? R: nabla f=2 imath+2 jmath-2 k
b) Qual é a derivada de f em P na direção de ̂ imath+jmath ? R: 2 raiz2

Passo 1

Resumo do enunciado: A derivada de f em P é máxima na direção v=imath+jmath-k e vale 2raiz3. O conteúdo é derivada direcional e gradiente, e precisamos achar nabla f(P) e a derivada direcional na direção imath+jmath.

Passo 2

Na teoria de derivada direcional, para um vetor unitário u vale Duf(P)=nabla f(P)cdotu. O valor máximo dessa derivada ocorre quando u está na direção de nabla f(P), e esse máximo é exatamente |nabla f(P)|.

Passo 3

Como a derivada máxima é 2raiz3, concluímos que |nabla f(P)|=2raiz3 e que a direção de nabla f(P) coincide com a de v.

Passo 4

O vetor unitário em direção a v=(1,1,-1) é u=tfrac1raiz3(1,1,-1). Logo
nabla f(P)=|nabla f(P)|,u=2raiz3cdottfrac1raiz3(1,1,-1)=(2,2,-2),
ou seja 2imath+2jmath-2k.

Passo 5

Para a direção imath+jmath, o vetor unitário é tfrac1raiz2(1,1,0). Então
Dimath+jmathf(P)=nabla f(P)cdottfrac1raiz2(1,1,0)=tfrac1raiz2(2+2+0)=2raiz2

Resposta

nabla f(P)=2imath+2jmath-2k e a derivada direcional na direção imath+jmath é 2raiz2.

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