Calcule a integral da função F(x, y)=24 x y na região do plano XoY delimitada por y=x^2 e y=raizx.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de F(x,y)=24xy na região do plano delimitada pelas curvas y=x^2 e y=raizx. O conteúdo é integração de funções de duas variáveis usando coordenadas retangulares. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção dessas curvas e montar a integral iterada com limites adequados.

Passo 2

Para descobrir onde as curvas y = x^2 e y = raizx se interceptam, igualamos x^2 = raizx. Como x >= 0, temos x^2 = x^1/2implies x^3/2=1, então x=1. Também vale para x=0. Logo as interseções são em x=0 e x=1.

Passo 3

A região R fica para 0 <= x <= 1, e para cada x fixo y varia de y = x^2 (curva inferior) até y = raizx (curva superior). Podemos então escrever
integral duplaR 24xy,dA = integralx=0^1integraly=x^2^raizx24xy,dy,dx.

Passo 4

Começamos integrando em y:
integraly=x^2^raizx24,x,y,dy = 24,x[y^22]y=x^2^raizx = 12,xl((raizx)^2 - (x^2)^2r) = 12,xl(x - x^4r).

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^112l(x^2 - x^5r),dx = 12[x^33 - x^66]0^1 = 12l(tfrac13 - tfrac16r) = 12cdottfrac16 = 2.

Resposta

2

Exercícios relacionados