Determine:
lim x 0 1x integral0^sin (x) raizt d t.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto01xintegral0^sin xraizt,dt,
um problema de Cálculo Integral e limites que vamos resolver usando a antiderivada de raizt e uma aproximação de sin x para valores pequenos de x.

Passo 2

Primeiro encontramos a antiderivada de raizt=t^1/2. Sabemos que
integral t^1/2,dt=t^3/23/2=23t^3/2+C

Passo 3

Agora aplicamos nos limites de 0 a sin x:
integral0^sin xraizt,dt=23l(sin xr)^3/2-23cdot0^3/2=23l(sin xr)^3/2

Passo 4

Substituindo no limite original:
1xintegral0^sin xraizt,dt=1xcdot23l(sin xr)^3/2=23,(sin x)^3/2x

Passo 5

Para xto0, usamos que sin xsim x. Logo
(sin x)^3/2sim x^3/2
e portanto
23,(sin x)^3/2xsim23,x^3/2x=23x^1/2
que tende a 0 quando xto0.

Resposta

0

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