Calcule usando coordenadas polares: integral-3^3(integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 e^-x^2-y^2 d y) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral-3^3integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 e^-x^2-y^2,dy,dx
usando coordenadas polares. O conteúdo principal aqui é mudança de variáveis em integrais duplas e uso do jacobiano em coordenadas polares.

Passo 2

O domínio de integração é dado por
-3 <= x <= 3, -raiz9-x^2 <= y <= raiz9-x^2,
o que descreve o disco de raio 3 em torno da origem:
D = (x,y)mid x^2+y^2 <= 9

Passo 3

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = dx,dy = r,dr,dtheta

Passo 4

Precisamos cobrir todo o disco de raio 3, então
0 <= r <= 3, 0 <= theta <= 2pi

Passo 5

Reescrevendo a integral em polares:
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA = integral0^2pi integral0^3 e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 6

Agora vamos calcular a parte em r e depois em theta:
integral0^3 r e^-r^2,dr
Fazendo a substituição u = r^2, du = 2r,dr temos
integral0^3 r e^-r^2,dr = 12 integral0^9 e^-u,du = 12l[-e^-ur]0^9 = 12l(1 - e^-9r)
Em seguida,
integral0^2pi 12l(1 - e^-9r),dtheta = 12l(1 - e^-9r) times 2pi = pil(1 - e^-9r)

Resposta

pil(1 - e^-9r)

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