Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função:

Passo 1

Temos a função f(x,y)=1x^2+y^2-1. O conteúdo aqui é análise de extremos usando derivadas parciais e o teste da segunda derivada (Hessiano).

Passo 2

Definimos o denominador D(x,y)=x^2+y^2-1. Calculamos as derivadas parciais:
fx=partialpartial xl(D^-1r)=-D^-2cdot(2x)=-2x(x^2+y^2-1)^2,
$$f_y=-\frac{2y}{(x2+y2-1)^2}.
$$

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo fx=0 e fy=0:
Isso exige -2x=0 e -2y=0, ou seja x=0 e y=0. Verificamos que em (0,0) o denominador é -1), então o ponto está no domínio.

Passo 4

Para classificar esse ponto, calculamos as segundas derivadas:
$$f_{xx}=-\frac{2}{D2}+\frac{8x2}{D^3},\quad f_{yy}=-\frac{2}{D2}+\frac{8y2}{D^3},\quad f_{xy}=\frac{8xy}{D^3}.
fxx=-2D^2+8x^2D^3, fyy=-2D^2+8y^2D^3, fxy=8xyD^3 éH= (0,0),$$
que é negativo definido. Portanto D=-1 é um ponto de máximo local.

Passo 5

Não existem outros pontos críticos. Como só há esse máximo local, concluímos que não há mínimos locais nem pontos de sela.

Resposta

Máximo local em (0,0) com f(0,0)=–1. Não há mínimos locais nem pontos de sela.

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