Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função:
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo aqui é análise de extremos usando derivadas parciais e o teste da segunda derivada (Hessiano).
Passo 2
Definimos o denominador
. Calculamos as derivadas parciais:
$$f_y=-\frac{2y}{(x2+y2-1)^2}.
$$
Passo 3
Encontramos os pontos críticos resolvendo
e
:
Isso exige e
, ou seja
e
. Verificamos que em
o denominador é
, então o ponto está no domínio.
Isso exige
Passo 4
Para classificar esse ponto, calculamos as segundas derivadas:
$$f_{xx}=-\frac{2}{D2}+\frac{8x2}{D^3},\quad f_{yy}=-\frac{2}{D2}+\frac{8y2}{D^3},\quad f_{xy}=\frac{8xy}{D^3}.
que é negativo definido. Portanto
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Não existem outros pontos críticos. Como só há esse máximo local, concluímos que não há mínimos locais nem pontos de sela.
Resposta
Máximo local em (0,0) com f(0,0)=–1. Não há mínimos locais nem pontos de sela.