Calcule f(x) usando a definição de derivada.
a) f(x) = x^2 + 3x
b) f(x) = raizx + 1
c) f(x) = 1x

Passo 1

Neste exercício vamos usar a definição de derivada para encontrar f’(x) das funções a) f(x)=x^2+3x, b) f(x)=√(x+1) e c) f(x)=1/x. A definição de derivada que usaremos é
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h .

Passo 2

Para a) f(x)=x^2+3x, calculemos o quociente de diferenciação:
f(x+h)-f(x)h=(x+h)^2+3(x+h)-(x^2+3x)h
Expandindo e simplificando o numerador:
(x^2+2xh+h^2+3x+3h)-(x^2+3x)=2xh+h^2+3h
Então:
2xh+h^2+3hh=2x+h+3
Fazendo o limite h→0 obtemos f’(x)=2x+3.

Passo 3

Para b) f(x)=√(x+1), o quociente de diferenciação é
√x+1+h-√x+1h
Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
(√x+1+h-√x+1)(√x+1+h+√x+1)h(√x+1+h+√x+1)= (x+1+h)-(x+1)h(√x+1+h+√x+1)= hh(√x+1+h+√x+1)
Simplificando h e fazendo h→0:
f'(x)=1√x+1+√x+1=12√x+1

Passo 4

Para c) f(x)=1/x, temos
f(x+h)-f(x)h=1x+h-1xh
Combina-se em um só quociente:
x-(x+h)x(x+h)h=-hh,x(x+h)
Cancelando h e fazendo h→0:
f'(x)=-1x^2

Resposta

a) f’(x)=2x+3
b) f’(x)=\frac{1}{2√{x+1}}
c) f’(x)=-\frac{1}{x^2}

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