Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação dada tem pelo menos uma raiz real.
a) x^3 + x - 1 = 0
b) cos x = x

Passo 1

Temos duas equações que queremos verificar a existência de raiz real usando o Teorema do Valor Intermediário. O conteúdo principal é que, se uma função real e contínua em um intervalo [a,b] assumir valores de sinais opostos em a e b, então existe pelo menos um c∈(a,b) tal que f©=0. Vamos precisar identificar funções contínuas apropriadas e encontrar dois pontos onde elas mudem de sinal.

Passo 2

Para a equação x³+x−1=0, defina f(x)=x³+x−1. Como f é polinomial, é contínua em ℝ. Calcule f(0) e f(1):
f(0)=0³+0−1=−1 (negativo) e f(1)=1³+1−1=1 (positivo). Como f(0)·f(1)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe ξ∈(0,1) tal que f(ξ)=0, isto é, há pelo menos uma raiz real em (0,1).

Passo 3

Para a equação cos x=x, reorganize para g(x)=cos x−x. A função cos x é contínua e x também, logo g é contínua em ℝ. Avalie em 0 e π/2:
g(0)=cos 0−0=1 (positivo) e g(π/2)=cos(π/2)−π/2=0−π/2<0. Como g(0)·g(π/2)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe η∈(0,π/2) tal que g(η)=0, ou seja, cos η=η.

Passo 4

Portanto, em ambos os casos encontramos um intervalo onde a função muda de sinal, garantindo pelo menos uma raiz real em cada intervalo indicado.

Resposta

a) Existe pelo menos uma raiz real em (0,1). b) Existe pelo menos uma raiz real em (0,π/2).

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