Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=x^2+x y+y^2+y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=x²+xy+y²+y, classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela, usando cálculo de derivadas parciais e matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial fpartial x=2x+y=0,
partial fpartial y=x+2y+1=0
Da primeira equação vem y=−2x; substituindo na segunda: −3x+1=0 → x=1/3 e y=−2/3.

Passo 3

Agora formamos a matriz Hessiana e classificamos o ponto crítico:
H(f)=fxx & fxy fyx & fyy =2 & 11 & 2
O determinante é det(H)=2·2−1·1=3>0 e f_{xx}=2>0, logo é mínimo local.

Passo 4

Calculamos o valor da função no ponto (1/3,−2/3):
fl(tfrac13,-tfrac23r)=l(tfrac13r)^2+tfrac13l(-tfrac23r)+l(-tfrac23r)^2+l(-tfrac23r)=-tfrac13

Resposta

Mínimo local em (tfrac13,-tfrac23) com valor -tfrac13. Não há máximos locais nem pontos de sela.

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