Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=x²+xy+y²+y, classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela, usando cálculo de derivadas parciais e matriz Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Da primeira equação vem y=−2x; substituindo na segunda: −3x+1=0 → x=1/3 e y=−2/3.
Passo 3
Agora formamos a matriz Hessiana e classificamos o ponto crítico:
O determinante é det(H)=2·2−1·1=3>0 e f_{xx}=2>0, logo é mínimo local.