Calcule, usando a definição, a derivada da função f(x) = cos(4 x) - x^2, para x = 1; dado: cos(a +- b) = cos(a) * cos(b) -+ sen(a) * sen(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar lembrar da definição de derivada e também usar a identidade trigonométrica fornecida: .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada. A derivada de em um ponto é dada por:
Aqui, vamos substituir por 1, já que queremos a derivada no ponto .

Passo 3

Vamos substituir na fórmula. Temos:
Simplificando dentro dos colchetes:

Passo 4

Vamos expandir usando a identidade trigonométrica fornecida. Substituindo e , temos:
Portanto, nossa expressão fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, observamos que e . Assim, sobra:
Podemos dividir cada termo do numerador por :

Passo 6

Agora, vamos analisar cada limite separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa expressão:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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