Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial onde precisamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especificamente a técnica de separação de variáveis, para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
. Aqui,
representa a taxa de variação de
em relação a
, e o lado direito é uma função de
e
. Precisamos separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
:
Agora, todas as expressões em
estão do lado esquerdo e as que envolvem
e
estão do lado direito.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para o lado direito, percebemos que a integral envolve
e
, porém, sem uma relação entre
e
, não podemos integrar diretamente. Parece que há uma variável a mais na equação original. Vamos supor que há um erro no enunciado e que a equação deveria ser em termos de
, ou seja,
. Com essa correção, podemos prosseguir.
Reescrevendo com
como variável independente:
Separando as variáveis:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Do lado esquerdo:
Do lado direito, fazemos uma substituição
, então
, ou seja,
:
Passo 7
Agora, juntando as integrais:
Vamos resolver para
:
Onde
.
Então:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então:
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
O gráfico dessa função apresenta-se definido no intervalo onde
, ou seja, para valores de
tais que
, o que implica
está no intervalo
.