Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(e) d/y dt = x y^3 (1 + x^2)^(-1/2), y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial onde precisamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especificamente a técnica de separação de variáveis, para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos: . Aqui, representa a taxa de variação de em relação a , e o lado direito é uma função de e . Precisamos separar as variáveis e para integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para separar as variáveis e :
Agora, todas as expressões em estão do lado esquerdo e as que envolvem e estão do lado direito.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para o lado direito, percebemos que a integral envolve e , porém, sem uma relação entre e , não podemos integrar diretamente. Parece que há uma variável a mais na equação original. Vamos supor que há um erro no enunciado e que a equação deveria ser em termos de , ou seja, . Com essa correção, podemos prosseguir.
Reescrevendo com como variável independente:
Separando as variáveis:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Do lado esquerdo:
Do lado direito, fazemos uma substituição , então , ou seja, :

Passo 7

Agora, juntando as integrais:
Vamos resolver para :
Onde .
Então:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então:
Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
O gráfico dessa função apresenta-se definido no intervalo onde , ou seja, para valores de tais que , o que implica está no intervalo .

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