Duas variáveis x e y são funções duma variável independente t e estão relacionadas pela seguinte equação y(t) sen(t^2 + 1) + y^2(t) x^3(t) = t^3, a = 2. Se a taxa de variação de x em relação a t é igual a 2 quando x = 0, então, determine qual a taxa de variação de y em relação a t, nesse mesmo instante;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis, e , que dependem do tempo e estão ligadas pela equação . Nosso objetivo aqui é descobrir como está mudando em relação a naquele instante específico onde e a taxa de variação de em relação a ( ) é igual a 2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é uma técnica para achar derivadas quando as variáveis estão interligadas de forma complicada.

Passo 2

Primeiro, precisamos derivar toda a equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a regra da derivada em cada termo da equação. Vamos lá:
Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de :
    • Usamos a regra do produto:
    • (usando a regra da cadeia)
    Então:
  2. Derivada de :
    • Novamente, usamos a regra do produto.
    Então:
  3. Derivada de :

Passo 3

Agora, juntando tudo, a equação derivada fica:
Nosso próximo passo é isolar . Vamos reagrupar os termos que têm :
Então, isolando :

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • Sabemos que e .
  • Além disso, precisamos descobrir quando e .
Vamos encontrar :
Agora, substituímos , , , e na fórmula de :
Simplificando:

Resposta

A taxa de variação de em relação a nesse instante é:

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