Calcule, usando a equação de Poisson, o potencial produzido por:
um cilindro infinito de raio , com carga volumétrica constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o potencial elétrico gerado por um cilindro infinito de raio com uma carga volumétrica constante , usando a equação de Poisson. Para resolver isso, vamos precisar entender de eletrostática, especialmente a equação de Poisson em coordenadas cilíndricas, e usar conceitos de simetria para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Como estamos lidando com um cilindro infinito, a simetria cilíndrica é perfeita. Vamos usar coordenadas cilíndricas , onde é a distância radial do eixo do cilindro, o ângulo ao redor do cilindro, e a coordenada ao longo do comprimento do cilindro.
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação de Poisson em coordenadas cilíndricas. A equação de Poisson relaciona o potencial elétrico com a densidade de carga :
Em coordenadas cilíndricas, e considerando que o potencial só depende de (devido à simetria do problema), a equação simplifica para:
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Dividindo por :
Integrando novamente:
Passo 5
Agora, precisamos determinar as constantes de integração e usando as condições de contorno. Vamos considerar dois casos:
Dentro do cilindro (): A densidade de carga é .
Fora do cilindro (): Não há carga, então .
Dentro do cilindro:
A solução geral é:
Para evitar que o potencial fique infinito quando , precisamos que . Então:
Fora do cilindro:
Aqui, , então a equação de Poisson se reduz à equação de Laplace:
Integrando:
Integrando novamente:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de continuidade no limite para garantir que o potencial e seu derivado sejam contínuos.
Igualando e :
E igualando as derivadas:
-rho R02varepsilon0 = C3R0
Daí, encontramos C3 = -rho R0^22varepsilon0.
Agora, substituímos C3 na primeira equação e resolvemos para C2 e C4. Após simplificações, obtemos as expressões para phidentro(r) e phifora(r).
Resposta
O potencial elétrico phi(r) produzido pelo cilindro infinito de raio R0 e carga volumétrica constante rho é dado por: