Calcule, usando a equação de Poisson, o potencial phi produzido por:
um cilindro infinito de raio R0, com carga volumétrica rho constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o potencial elétrico phi gerado por um cilindro infinito de raio R0 com uma carga volumétrica constante rho, usando a equação de Poisson. Para resolver isso, vamos precisar entender de eletrostática, especialmente a equação de Poisson em coordenadas cilíndricas, e usar conceitos de simetria para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Como estamos lidando com um cilindro infinito, a simetria cilíndrica é perfeita. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r, theta, z), onde r é a distância radial do eixo do cilindro, theta o ângulo ao redor do cilindro, e z a coordenada ao longo do comprimento do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação de Poisson em coordenadas cilíndricas. A equação de Poisson relaciona o potencial elétrico phi com a densidade de carga rho:
nabla^2 phi = -rhovarepsilon0
Em coordenadas cilíndricas, e considerando que o potencial só depende de r (devido à simetria do problema), a equação simplifica para:
1r ddr( r dphidr ) = -rhovarepsilon0

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial para phi(r). Primeiro, multiplicamos ambos os lados por r:
ddr( r dphidr ) = -rho rvarepsilon0
Agora, integramos ambos os lados em relação a r:
r dphidr = -rho2varepsilon0 r^2 + C1
Dividindo por r:
dphidr = -rho r2varepsilon0 + C1r
Integrando novamente:
phi(r) = -rho r^24varepsilon0 + C1 ln r + C2

Passo 5

Agora, precisamos determinar as constantes de integração C1 e C2 usando as condições de contorno. Vamos considerar dois casos:
  1. Dentro do cilindro ( r <= R0): A densidade de carga é rho.
  2. Fora do cilindro ( r > R0): Não há carga, então rho = 0.
Dentro do cilindro:
A solução geral é:
phidentro(r) = -rho r^24varepsilon0 + C1 ln r + C2
Para evitar que o potencial fique infinito quando r to 0, precisamos que C1 = 0. Então:
phidentro(r) = -rho r^24varepsilon0 + C2
Fora do cilindro:
Aqui, rho = 0, então a equação de Poisson se reduz à equação de Laplace:
1r ddr( r dphidr ) = 0
Integrando:
r dphidr = C3
dphidr = C3r
Integrando novamente:
phifora(r) = C3 ln r + C4

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de continuidade no limite r = R0 para garantir que o potencial e seu derivado sejam contínuos.
Igualando phidentro(R0) e phifora(R0):
-rho R0^24varepsilon0 + C2 = C3 ln R0 + C4
E igualando as derivadas:
dphidentrodrg|r=R0 = dphiforadrg|r=R0
-rho R02varepsilon0 = C3R0
Daí, encontramos C3 = -rho R0^22varepsilon0.
Agora, substituímos C3 na primeira equação e resolvemos para C2 e C4. Após simplificações, obtemos as expressões para phidentro(r) e phifora(r).

Resposta

O potencial elétrico phi(r) produzido pelo cilindro infinito de raio R0 e carga volumétrica constante rho é dado por:
Para r <= R0:
phi(r) = phi0 - rho r^24varepsilon0
Para r > R0:
phi(r) = phi0 - rho R0^24varepsilon0 (1 + 2 ln rR0)
Onde phi0 é o potencial no raio r = R0.

Exercícios relacionados