O potencial sobre o plano x y é:
varphi(r)=a x(x^2+y^2)^3 / 2+b(x^2+y^2)^1 / 2,
onde a e b são constantes. Calcule o campo eléctrico em qualquer ponto no plano P=(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o campo elétrico em qualquer ponto do plano $ P = (x, y) $. Estamos trabalhando com potencial elétrico, que é uma função que nos ajuda a encontrar o campo elétrico usando cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar o gradiente do potencial elétrico. Então, vamos calcular as derivadas de $ \varphi(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial do potencial $ \varphi $ em relação a $ x $. A função dada é:
varphi
Para derivar em relação a $ x $, vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos derivar cada termo separadamente.
Derivando o primeiro termo:
Simplificando:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial do potencial $ \varphi $ em relação a $ y $. Usando a mesma função:
varphi
Derivando em relação a $ y $:
y
Derivando o segundo termo:
varphi(x, y) = a x(x^2 + y^2)^3/2 + b(x^2 + y^2)^1/2
Somando as derivadas dos dois termos:
y

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos encontrar o campo elétrico $ \mathbf{E} $ usando a relação:
E
Substituindo as derivadas que encontramos:
E = -nabla varphi = -( partial varphipartial x, partial varphipartial y )
Ex = -partial varphipartial x = -a (y^2 - 2x^2)(x^2 + y^2)^5/2

Resposta

O campo elétrico no ponto $ P = (x, y) $ é dado por:
P = (x, y)

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