O potencial sobre o plano
é:
onde
e
são constantes. Calcule o campo eléctrico em qualquer ponto no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o campo elétrico em qualquer ponto do plano $ P = (x, y) $. Estamos trabalhando com potencial elétrico, que é uma função que nos ajuda a encontrar o campo elétrico usando cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar o gradiente do potencial elétrico. Então, vamos calcular as derivadas de $ \varphi(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial do potencial $ \varphi $ em relação a $ x $. A função dada é:
Para derivar em relação a $ x $, vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos derivar cada termo separadamente.
Derivando o primeiro termo:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial do potencial $ \varphi $ em relação a $ y $. Usando a mesma função:
Derivando em relação a $ y $:
Derivando o segundo termo:
Somando as derivadas dos dois termos:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, podemos encontrar o campo elétrico $ \mathbf{E} $ usando a relação:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Resposta
O campo elétrico no ponto $ P = (x, y) $ é dado por: