quando o limite existe (veja vídeo). Neste caso, a equação da reta tangente
é dada por
.
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação
em um ponto genérico. Em seguida, calcule a equação da reta tangente no ponto indicado.
10a) (a)
, no ponto
10b) (b)
, no ponto
10c) ©
, no ponto
10d) (d)
, no ponto
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação
10a) (a)
10b) (b)
10c) ©
10d) (d)
Passo 1
O enunciado pede para usar a definição de derivada
para obter a inclinação da reta tangente e depois escrever a reta
y = f(a) + f′(a)(x−a).
Vamos aplicar isso a cada função.
y = f(a) + f′(a)(x−a).
Vamos aplicar isso a cada função.
Passo 2
Função (a): f(x)=2x².
Regra de derivada de potência diz que se f(x)=cx^n então f′(x)=cnx^{n-1}.
Aqui c=2 e n=2, logo
Regra de derivada de potência diz que se f(x)=cx^n então f′(x)=cnx^{n-1}.
Aqui c=2 e n=2, logo
Portanto f′(a)=4a.
No ponto a=3 temos f(3)=2·3²=18 e f′(3)=4·3=12.
A equação da reta tangente fica
No ponto a=3 temos f(3)=2·3²=18 e f′(3)=4·3=12.
A equação da reta tangente fica
que em forma explícita é
Passo 3
Função (b): f(x)=5/x=5x^{-1}.
Usando a regra de derivada de potência:
Usando a regra de derivada de potência:
Logo f′(a)=-5/a².
No ponto a=2 temos f(2)=5/2 e f′(2)=-5/4.
A reta tangente é
No ponto a=2 temos f(2)=5/2 e f′(2)=-5/4.
A reta tangente é
ou, passando a f(x):
Passo 4
Função ©: f(x)=x|x|.
Para x≥0 temos f(x)=x·x=x², e para x<0 f(x)=x·(-x)=-x². Então
Para x≥0 temos f(x)=x·x=x², e para x<0 f(x)=x·(-x)=-x². Então
No ponto a=0 calculamos
Como f(0)=0, a reta tangente é
Passo 5
Função (d): f(x)=|x|.
Temos
Temos
e a derivada é f′(x)=1 para x>0 e f′(x)=-1 para x<0.
No ponto a=0 os limites laterais não coincidem (1;≠;-1),
logo f′(0) não existe e não há reta tangente nesse ponto.
No ponto a=0 os limites laterais não coincidem (1;≠;-1),
logo f′(0) não existe e não há reta tangente nesse ponto.
Resposta
10a) f’(a)=4a, f’(3)=12, reta: y-18=12(x-3) ou y=12x-18
10b) f’(a)=-5/a^2, f’(2)=-5/4, reta: y-5/2=-5/4(x-2) ou y=-\tfrac{5}{4}x+5
10c) f’(0)=0, reta: y=0
10d) f’(0) não existe, portanto não há reta tangente
10b) f’(a)=-5/a^2, f’(2)=-5/4, reta: y-5/2=-5/4(x-2) ou y=-\tfrac{5}{4}x+5
10c) f’(0)=0, reta: y=0
10d) f’(0) não existe, portanto não há reta tangente