f^prime(a)=lim x a f(x)-f(a)x-a
quando o limite existe (veja vídeo). Neste caso, a equação da reta tangente y=y(x) é dada por y-f(a)=f^prime(a)(x-a).
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f^prime(a) em um ponto genérico. Em seguida, calcule a equação da reta tangente no ponto indicado.
10a) (a) f(x)=2 x^2, no ponto (3, f(3))
10b) (b) f(x)=5x, no ponto (2, f(2))
10c) © f(x)=x|x|, no ponto (0, f(0))
10d) (d) f(x)=|x|, no ponto (0, f(0))

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de derivada
f^prime(a)=limxto af(x)-f(a)x-a
para obter a inclinação da reta tangente e depois escrever a reta
y = f(a) + f′(a)(x−a).
Vamos aplicar isso a cada função.

Passo 2

Função (a): f(x)=2x².
Regra de derivada de potência diz que se f(x)=cx^n então f′(x)=cnx^{n-1}.
Aqui c=2 e n=2, logo
f^prime(x)=2cdot 2x^2-1=4x
Portanto f′(a)=4a.
No ponto a=3 temos f(3)=2·3²=18 e f′(3)=4·3=12.
A equação da reta tangente fica
y-18=12(x-3)
que em forma explícita é
y=12x-18

Passo 3

Função (b): f(x)=5/x=5x^{-1}.
Usando a regra de derivada de potência:
f^prime(x)=5cdot(-1)x^-2=-5x^2
Logo f′(a)=-5/a².
No ponto a=2 temos f(2)=5/2 e f′(2)=-5/4.
A reta tangente é
y-52=-54(x-2)
ou, passando a f(x):
y=-54x+5

Passo 4

Função ©: f(x)=x|x|.
Para x≥0 temos f(x)=x·x=x², e para x<0 f(x)=x·(-x)=-x². Então
f(x)=x^2,&x>=0,-x^2,&x<0
No ponto a=0 calculamos
f'(0)=limxto0x|x|-0x-0=limxto0|x|=0
Como f(0)=0, a reta tangente é
y-0=0,(x-0)implies y=0

Passo 5

Função (d): f(x)=|x|.
Temos
f(x)=x,&x>=0,-x,&x<0,
e a derivada é f′(x)=1 para x>0 e f′(x)=-1 para x<0.
No ponto a=0 os limites laterais não coincidem (1;≠;-1),
logo f′(0) não existe e não há reta tangente nesse ponto.

Resposta

10a) f’(a)=4a, f’(3)=12, reta: y-18=12(x-3) ou y=12x-18
10b) f’(a)=-5/a^2, f’(2)=-5/4, reta: y-5/2=-5/4(x-2) ou y=-\tfrac{5}{4}x+5
10c) f’(0)=0, reta: y=0
10d) f’(0) não existe, portanto não há reta tangente

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