Mostre que as seguintes coordenadas são coordenadas curvilíneas, encontre os fatores de escala
, o gradiente, o divergente, o rotacional e o Laplaciano:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas coordenadas $ x $ e $ y $ em termos das variáveis $ u $ e $ v $. A nossa missão é verificar se essas coordenadas formam um sistema de coordenadas curvilíneas, encontrar os fatores de escala $ h_{1}, h_{2}, h_{3} $, e calcular o gradiente, divergente, rotacional e o Laplaciano nesse sistema. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre coordenadas curvilíneas e as operações vetoriais envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se $ x $ e $ y $ são funções diferenciáveis de $ u $ e $ v $. As expressões dadas são:
Como essas funções são suaves e têm derivadas contínuas, podemos afirmar que estamos lidando com um sistema de coordenadas curvilíneas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores base desse sistema. Para isso, calculamos as derivadas parciais de $ x $ e $ y $ em relação a $ u $ e $ v $:
Passo 4
Os fatores de escala $ h_{1} $ e $ h_{2} $ são as normas dos vetores tangentes às direções $ u $ e $ v $, respectivamente. Vamos calcular:
Assumindo que $ z = z $, então $ \frac{\partial z}{\partial u} = 0 $ e $ \frac{\partial z}{\partial v} = 0 $. Calculando essas normas, obtemos os fatores de escala $ h_{1} $ e $ h_{2} $. Como não foi dada uma expressão para $ z $, consideramos que $ h_{3}=1 $ para a direção $ z $.
Passo 5
Com os fatores de escala em mãos, podemos determinar o gradiente de uma função $ f(u, v, z) $ no sistema curvilíneo:
Aqui, $ \mathbf{e}{u}, \mathbf{e}{v}, \mathbf{e}_{z} $ são os vetores unitários nas direções $ u, v, z $.
Passo 6
O divergente de um campo vetorial $ \mathbf{F} = F_{u} \mathbf{e}{u} + F{v} \mathbf{e}{v} + F{z} \mathbf{e}_{z} $ é dado por:
Usaremos essa fórmula para calcular o divergente no nosso sistema.
Passo 7
O rotacional de $ \mathbf{F} $ no sistema curvilinear é:
Vamos aplicar essa expressão ao nosso sistema de coordenadas.
Passo 8
Finalmente, o Laplaciano de uma função $ f $ é:
Usaremos essa fórmula para calcular o Laplaciano no nosso sistema curvilinear.
Resposta
Portanto, mostramos que as coordenadas dadas são curvilíneas, calculamos os fatores de escala $ h_{1}, h_{2}, h_{3} $, e determinamos as expressões para o gradiente, divergente, rotacional e Laplaciano nesse sistema de coordenadas.