Calcule, usando a equação de Poisson, o potencial
produzido por:
uma placa espessa plana infinita de espessura d, com carga volumétrica
constante.
uma placa espessa plana infinita de espessura d, com carga volumétrica
Passo 1
O enunciado pede o potencial φ(z) produzido por uma placa infinita de espessura d, densidade volumétrica ρ constante, usando a equação de Poisson. O conteúdo envolve eletrostática em uma dimensão (variando só em z) e a simetria em z=0. Para resolver, vamos usar
e integrar duas vezes aplicando as condições de contorno de simetria e continuidade.
Passo 2
Dentro da região interna da placa (|z| \le d/2) temos carga constante, então
Integrando uma vez:
Pela simetria, o campo elétrico (–dφ/dz) é zero em z=0, logo dφ/dz|_{z=0}=0 → C_1=0. Assim
Integrando de z=0 a z e escolhendo φ(0)=0:
Passo 3
Na região externa (|z| > d/2) não há carga, logo
→ dφ/dz é constante. Como o campo elétrico fora é E = ρd/(2ε₀) sgn(z), temos
Integrando de z = d/2 até z, e usando o valor em z=d/2, φ(d/2)=ρd²/(8ε₀), obtemos
Passo 4
Juntando tudo em forma de solução em peças, temos o potencial contínuo e derivável em z=±d/2: