Calcule, usando a equação de Poisson, o potencial phi produzido por:
uma placa espessa plana infinita de espessura d, com carga volumétrica rho constante.

Passo 1

O enunciado pede o potencial φ(z) produzido por uma placa infinita de espessura d, densidade volumétrica ρ constante, usando a equação de Poisson. O conteúdo envolve eletrostática em uma dimensão (variando só em z) e a simetria em z=0. Para resolver, vamos usar
d^2phidz^2 = -rhoepsilon0
e integrar duas vezes aplicando as condições de contorno de simetria e continuidade.

Passo 2

Dentro da região interna da placa (|z| \le d/2) temos carga constante, então
d^2phidz^2 = -rhoepsilon0
Integrando uma vez:
dphidz = -rhoepsilon0,z + C1
Pela simetria, o campo elétrico (–dφ/dz) é zero em z=0, logo dφ/dz|_{z=0}=0 → C_1=0. Assim
dphidz = -rhoepsilon0z
Integrando de z=0 a z e escolhendo φ(0)=0:
phi(z) = integral0^z rhoepsilon0 z' ,dz' = rho2epsilon0 z^2

Passo 3

Na região externa (|z| > d/2) não há carga, logo
d^2phidz^2 = 0
→ dφ/dz é constante. Como o campo elétrico fora é E = ρd/(2ε₀) sgn(z), temos
dphidz = -E = -rho d2epsilon0,sgn(z)
Integrando de z = d/2 até z, e usando o valor em z=d/2, φ(d/2)=ρd²/(8ε₀), obtemos
phi(z) = rho d^28epsilon0 - rho d2epsilon0l(|z| - d2r)

Passo 4

Juntando tudo em forma de solução em peças, temos o potencial contínuo e derivável em z=±d/2:

Resposta

phi(z) = rho2epsilon0,z^2, & |z| <= d2, rho2epsilon0l(d,|z| - d^24r), & |z| > d2

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