Encontre a energia potencial elétrica de uma esfera com densidade volumétrica de carga rho constante, carga total Q e raio R0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a energia potencial elétrica de uma esfera que tem uma densidade de carga volumétrica constante ( rho), uma carga total Q e um raio R0. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre energia potencial elétrica em distribuições de carga.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar a densidade de carga rho com a carga total Q e o raio da esfera R0. A densidade de carga volumétrica é definida como a carga por unidade de volume. Para uma esfera, o volume V é dado por:
V = 43pi R0^3
Então, podemos escrever:
rho = QV = Q43pi R0^3 = 3Q4pi R0^3

Passo 3

Agora, para encontrar a energia potencial elétrica U da esfera, usamos a fórmula que relaciona energia, carga e potencial elétrico. A energia potencial elétrica armazenada em uma distribuição de carga é dada por:
U = 12 integral rho V , dtau
onde V é o potencial elétrico no ponto onde a carga está localizada, e dtau é um elemento de volume.

Passo 4

Para uma esfera com carga uniformemente distribuída, o potencial elétrico dentro da esfera (a distância r do centro é menor que R0) é dado por:
V(r) = 14piepsilon0 ( QR0 ( 32 - r^22R0^2 ) )
onde epsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Substituindo rho e V(r) na expressão da energia potencial elétrica, temos:
U = 12 integral0^R0 rho cdot 14piepsilon0 ( QR0 ( 32 - r^22R0^2 ) ) cdot 4pi r^2 dr
Simplificando a expressão:
U = rho Q8piepsilon0 R0 integral0^R0 ( 3 - r^2R0^2 ) r^2 dr

Passo 6

Calculando a integral:
integral0^R0 ( 3 - r^2R0^2 ) r^2 dr = integral0^R0 3r^2 - r^4R0^2 dr = [ r^3 - r^55R0^2 ]0^R0 = R0^3 - R0^55R0^2 = R0^3 - R0^35 = 4R0^35

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de U:
U = rho Q8piepsilon0 R0 cdot 4R0^35 = rho Q R0^210piepsilon0
Lembrando que rho = 3Q4pi R0^3:
U = 3Q4pi R0^3 cdot Q cdot R0^210piepsilon0 = 3Q^240pi^2epsilon0 R0

Passo 8

Simplificando os termos, chegamos à expressão final da energia potencial elétrica:
U = 320 cdot Q^24piepsilon0 R0 = 3Q^220piepsilon0 R0

Resposta

A energia potencial elétrica da esfera é:
U = 3Q^220piepsilon0 R0

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