Encontre a energia potencial elétrica de uma esfera com densidade volumétrica de carga
constante, carga total
e raio
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a energia potencial elétrica de uma esfera que tem uma densidade de carga volumétrica constante (
), uma carga total
e um raio
. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre energia potencial elétrica em distribuições de carga.
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar a densidade de carga
com a carga total
e o raio da esfera
. A densidade de carga volumétrica é definida como a carga por unidade de volume. Para uma esfera, o volume
é dado por:
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, para encontrar a energia potencial elétrica
da esfera, usamos a fórmula que relaciona energia, carga e potencial elétrico. A energia potencial elétrica armazenada em uma distribuição de carga é dada por:
onde
é o potencial elétrico no ponto onde a carga está localizada, e
é um elemento de volume.
Passo 4
Para uma esfera com carga uniformemente distribuída, o potencial elétrico dentro da esfera (a distância
do centro é menor que
) é dado por:
onde
é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão da energia potencial elétrica, temos:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Calculando a integral:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Lembrando que
:
Passo 8
Simplificando os termos, chegamos à expressão final da energia potencial elétrica:
Resposta
A energia potencial elétrica da esfera é: