lim x 4 raizx-2x-4=lim x 4 (raizx-2)(x-4) (raizx+2)(raizx+2)=lim x 4 x-4(x-4)(raizx+2)=lim x 4 1raizx+2=14
Utilize a ideia acima para calcular os limites a seguir.
6a) (a) lim x 9 2 raizx-6x-9
6b) (b) lim x 7 5-raiz4+3 x7-x
6c) © $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}}

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular três limites que apresentam a forma indeterminada 0/0, usando o truque de multiplicar pelo conjugado (para as raízes) e uma identidade trigonométrica (para o cosseno). O conteúdo envolve limites, indeterminações do tipo 00, racionalização de expressões com raiz e a identidade 1-cos x=2sin^2(x/2).

Passo 2

Para o item (a), note que 2raizx-6=2(raizx-3). Então temos:
[
\lim_{x\to9}\frac{2\sqrt{x}-6}{x-9}
=\lim_{x\to9}\frac{2(\sqrt{x}-3)}{x-9}\cdot\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}
=\lim_{x\to9}\frac{2(x-9)}{(x-9)(\sqrt{x}+3)}
=\lim_{x\to9}\frac{2}{\sqrt{x}+3}
=\frac{2}{3+3}
=\frac{1}{3}.

Passo 3

No item (b), usamos o conjugado de 5-raiz4+3x. Assim:
limxto75-raiz4+3x7-x =limxto7(5-raiz4+3x)(5+raiz4+3x)(7-x)(5+raiz4+3x) =limxto725-(4+3x)(7-x)(5+raiz4+3x) =limxto721-3x(7-x)(5+raiz4+3x)
Repare que 21-3x=-3(x-7) e 7-x=-(x-7), então
21-3x(7-x)(5+raiz4+3x) =-3(x-7)- (x-7)(5+raiz4+3x) =35+raiz4+3x
e, levando xto7, raiz4+3cdot7=5, vem
35+5=310

Passo 4

No item ©, usamos a identidade trigonométrica
1-cos x=2sin^2l(x2r)
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limxto01-cos xx^2 =limxto02sin^2(x/2)x^2 =2limxto0l(sin(x/2)x/2r)^2cdot(x/2)^2x^2 =2cdot1^2cdot14 =12,
pois limuto0sin uu=1 e (x/2)^2/x^2=1/4.

Resposta

a) 1/3, b) 3/10, c) 1/2

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