Utilize a ideia acima para calcular os limites a seguir.
6a) (a)
6b) (b)
6c) © $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}}
6a) (a)
6b) (b)
6c) © $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}}
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos calcular três limites que apresentam a forma indeterminada 0/0, usando o truque de multiplicar pelo conjugado (para as raízes) e uma identidade trigonométrica (para o cosseno). O conteúdo envolve limites, indeterminações do tipo
, racionalização de expressões com raiz e a identidade
.
Passo 2
Para o item (a), note que
. Então temos:
[
\lim_{x\to9}\frac{2\sqrt{x}-6}{x-9}
=\lim_{x\to9}\frac{2(\sqrt{x}-3)}{x-9}\cdot\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}
=\lim_{x\to9}\frac{2(x-9)}{(x-9)(\sqrt{x}+3)}
=\lim_{x\to9}\frac{2}{\sqrt{x}+3}
=\frac{2}{3+3}
=\frac{1}{3}.
\lim_{x\to9}\frac{2\sqrt{x}-6}{x-9}
=\lim_{x\to9}\frac{2(\sqrt{x}-3)}{x-9}\cdot\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}
=\lim_{x\to9}\frac{2(x-9)}{(x-9)(\sqrt{x}+3)}
=\lim_{x\to9}\frac{2}{\sqrt{x}+3}
=\frac{2}{3+3}
=\frac{1}{3}.
Passo 3
No item (b), usamos o conjugado de
. Assim:
Repare que
e
, então
e, levando
,
, vem
Passo 4
No item ©, usamos a identidade trigonométrica
Logo
pois
e
.
Resposta
a)
, b)
, c)