Resolva para a massa de V, onde V é o hemisfério superior da esfera de raio 2 centrada na origem, com densidade de.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a massa de uma parte específica de uma esfera: o hemisfério de cima com raio 2, centrado na origem. A densidade nessa região é dada por de. Vamos usar o cálculo de integrais múltiplas para encontrar a massa, especialmente aproveitando a simetria da situação.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas para algo mais simples. Como a densidade depende de x e y de maneira simétrica, é uma boa ideia usar coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a gente tem r (a distância do ponto ao eixo z), theta (o ângulo em volta do eixo z) e z.

Passo 3

Nessas coordenadas, a densidade de fica mais fácil de lidar. Já que de, e o elemento de volume dV é dado por r , dr , dtheta , dz. Então, a nossa densidade multiplicada pelo volume será r times r = r^2.

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • theta varia de 0 a 2pi porque estamos cobrindo toda a volta ao redor do eixo z.
  • r vai de 0 a 2 (o raio da esfera).
  • z vai de 0 até raiz4 - r^2 para cobrir apenas o hemisfério superior.

Passo 5

Com tudo isso, montamos a integral para a massa M:
M = integral0^2pi integral0^2 integral0^raiz4 - r^2 r^2 , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a z. A integral de r^2 de 0 a raiz4 - r^2 é:
integral0^raiz4 - r^2 r^2 , dz = r^2 times raiz4 - r^2
Então, agora a massa fica:
M = integral0^2pi integral0^2 r^2 raiz4 - r^2 , dr , dtheta

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a r. Para isso, fazemos uma substituição u = 4 - r^2, então du = -2r , dr, ou seja, r , dr = -12 du. Ajustando os limites de u:
  • Quando r = 0, u = 4
  • Quando r = 2, u = 0
A integral em r fica:
integral0^2 r^2 raiz4 - r^2 , dr = integral4^0 (4 - u) raizu times (-12) du = 12 integral0^4 (4 - u) raizu , du
Expandindo:
12 ( 4 integral0^4 raizu , du - integral0^4 u^3/2 , du ) = 12 ( 4 times 23 u^3/2 |0^4 - 25 u^5/2 |0^4 )
Calculando:
12 ( 4 times 23 times 8 - 25 times 32 ) = 12 ( 643 - 645 ) = 12 times 6415 = 3215

Passo 8

Por fim, integramos em relação a theta:
M = integral0^2pi 3215 , dtheta = 3215 times 2pi = 64pi15

Resposta

A massa do hemisfério superior é M = 64,pi15.

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