Resolva para a massa de , onde é o hemisfério superior da esfera de raio 2 centrada na origem, com densidade .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a massa de uma parte específica de uma esfera: o hemisfério de cima com raio 2, centrado na origem. A densidade nessa região é dada por . Vamos usar o cálculo de integrais múltiplas para encontrar a massa, especialmente aproveitando a simetria da situação.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as coordenadas para algo mais simples. Como a densidade depende de e de maneira simétrica, é uma boa ideia usar coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a gente tem (a distância do ponto ao eixo ), (o ângulo em volta do eixo ) e .
Passo 3
Nessas coordenadas, a densidade fica mais fácil de lidar. Já que , e o elemento de volume é dado por . Então, a nossa densidade multiplicada pelo volume será .
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração:
varia de a porque estamos cobrindo toda a volta ao redor do eixo .
vai de a (o raio da esfera).
vai de até para cobrir apenas o hemisfério superior.
Passo 5
Com tudo isso, montamos a integral para a massa :
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a . A integral de de a é:
Então, agora a massa fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a . Para isso, fazemos uma substituição , então , ou seja, . Ajustando os limites de :
Quando ,
Quando ,
A integral em fica:
Expandindo:
Calculando:
12 ( 4 times 23 times 8 - 25 times 32 ) = 12 ( 643 - 645 ) = 12 times 6415 = 3215
Passo 8
Por fim, integramos em relação a theta:
M = integral0^2pi 3215 , dtheta = 3215 times 2pi = 64pi15