Calcule a massa de
, onde
é o cone
entre
e
, com densidade
.
Passo 1
Vamos calcular a massa do volume $ V $, que é um cone definido pela equação $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ entre $ z = 0 $ e $ z = 3 $. A densidade nesse cone é dada por $ \delta(x, y, z) = z^{2} $. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integração em coordenadas cilíndricas, pois facilita o trabalho com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula para calcular a massa. A massa $ M $ de um objeto com densidade $ \delta $ é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume $ V $:
No nosso caso, $ \delta(x, y, z) = z^{2} $, então:
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde $ x = r \cos\theta $, $ y = r \sin\theta $ e $ z = z $. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é $ dV = r , dr , d\theta , dz $.
Além disso, a equação do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ em coordenadas cilíndricas fica $ z = r $.
Passo 4
Determinar os limites de integração. Como o cone vai de $ z = 0 $ a $ z = 3 $:
- $ z $ varia de 0 a 3.
- Para cada $ z $, $ r $ varia de 0 a $ z $ (pois $ z = r $).
- $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ para cobrir todo o círculo.
Passo 5
Escrever a integral em coordenadas cilíndricas com os limites determinados:
Passo 6
Integrar em relação a $ r $ primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Integrar em relação a $ z $:
Substituindo na integral:
Passo 8
Integrar em relação a $ \theta $:
Portanto,
Resposta
A massa do cone $ V $ é $ \frac{243\pi}{5} $ unidades de massa.