Calcule a massa de V, onde V é o cone z=raizx^2+y^2 entre z=0 e z=3, com densidade de.

Passo 1

Vamos calcular a massa do volume $ V $, que é um cone definido pela equação $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ entre $ z = 0 $ e $ z = 3 $. A densidade nesse cone é dada por $ \delta(x, y, z) = z^{2} $. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integração em coordenadas cilíndricas, pois facilita o trabalho com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula para calcular a massa. A massa $ M $ de um objeto com densidade $ \delta $ é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume $ V $:
M
No nosso caso, $ \delta(x, y, z) = z^{2} $, então:
de

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde $ x = r \cos\theta $, $ y = r \sin\theta $ e $ z = z $. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é $ dV = r , dr , d\theta , dz $.
Além disso, a equação do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ em coordenadas cilíndricas fica $ z = r $.

Passo 4

Determinar os limites de integração. Como o cone vai de $ z = 0 $ a $ z = 3 $:
  • $ z $ varia de 0 a 3.
  • Para cada $ z $, $ r $ varia de 0 a $ z $ (pois $ z = r $).
  • $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ para cobrir todo o círculo.

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas cilíndricas com os limites determinados:
M = integral0^2pi integral0^3 integral0^z z^2 cdot r , dr , dz , dtheta

Passo 6

Integrar em relação a $ r $ primeiro:
r
Então, a integral fica:
integral0^z r , dr = [ r^22 ]0^z = z^22

Passo 7

Integrar em relação a $ z $:
z
Substituindo na integral:
integral0^3 z^4 , dz = [ z^55 ]0^3 = 3^55 = 2435

Passo 8

Integrar em relação a $ \theta $:
theta
Portanto,
integral0^2pi dtheta = 2pi

Resposta

A massa do cone $ V $ é $ \frac{243\pi}{5} $ unidades de massa.

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