Calcule usando substituição trigonométrica:
integral x^3raiz9-x^2 d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral x^3raiz9-x^2,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais impróprias por substituição trigonométrica, e vamos precisar usar a transformação x=3sintheta.

Passo 2

Fazendo a substituição trigonométrica: definimos x=3sintheta, logo
dx=3costheta,dthetaeraiz9-x^2=raiz9-9sin^2theta=3costheta

Passo 3

Substituindo na integral original temos
integral x^3raiz9-x^2,dx=integral (3sintheta)^33costhetacdot(3costheta,dtheta)=integral 27sin^3theta,dtheta

Passo 4

Para integrar sin^3theta usamos a identidade sin^3theta=sintheta(1-cos^2theta). Então
integral 27sin^3theta,dtheta=27integral(sintheta-sinthetacos^2theta),dtheta

Passo 5

Fazendo a primitiva:
integralsintheta,dtheta=-costheta, integralsinthetacos^2theta,dtheta=integral u^2(-du)= -cos^3theta3, onde u=costheta. Assim
27l(-costheta+cos^3theta3r)=-27costheta+9cos^3theta+C

Passo 6

Por fim, voltamos a x:
costheta=raiz9-x^23, cos^3theta=(9-x^2)^3/227 Substituindo e simplificando obtemos
-27cdotraiz9-x^23+9cdot(9-x^2)^3/227=-9raiz9-x^2+(9-x^2)^3/23+C

Resposta

-9raiz9-x^2+tfrac(9-x^2)^3/23+C

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