Calcule usando substituição trigonométrica:
integral e^xraize^2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^xraize^2x+1,dx usando substituição trigonométrica, um método útil para expressões do tipo raizu^2+1.

Passo 2

Fazemos a substituição u = e^x. Então du = e^x,dx, e a integral passa a ser
integral duraizu^2+1

Passo 3

Para resolver integral duraizu^2+1, usamos a substituição trigonométrica u = tan theta. Dessa forma:
du = sec^2 theta,dtheta, raizu^2+1 = raiztan^2theta+1 = sec theta,
e a integral vira
integral sec^2 theta,dthetasec theta = integral sec theta,dtheta

Passo 4

Sabemos que
integral sec theta,dtheta = lnl|sec theta + tan thetar| + C
Logo, em termos de theta, a primitiva é
.

Passo 5

Voltando para u, usamos
tan theta = u, sec theta = raizu^2+1,
então a primitiva fica
lnl|u + raizu^2+1r| + C

Resposta

lnl(e^x + raize^2x+1r) + C

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