Calcule usando integração por partes:
\int \operatorname{sen}(2 x) e^{\operatorname{sen} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sen}(2x)\,e^{\operatorname{sen} x}\,dx
usando integração por partes. Vamos precisar usar a identidade trigonométrica para \operatorname{sen}(2x) e em seguida uma substituição para simplificar a integral antes de aplicar integração por partes.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\operatorname{sen}(2x)=2\,\operatorname{sen} x\cos x
então a integral fica
\int \operatorname{sen}(2x)\,e^{\operatorname{sen} x}\,dx =\int 2\,\operatorname{sen} x\cos x\,e^{\operatorname{sen} x}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
t=\operatorname{sen} x, \quad dt=\cos x\,dx.
Com isso
\cos x\,dx=dt \quad\text{e}\quad \operatorname{sen} x=t,
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\int 2\,\operatorname{sen} x\cos x\,e^{\operatorname{sen} x}\,dx =2\int t\,e^{t}\,dt.

Passo 4

Agora aplicamos integração por partes em
\int t\,e^{t}\,dt
escolhendo
u=t, \quad dv=e^{t}\,dt
de modo que
du=dt, \quad v=e^{t}.
Pela fórmula
\int u\,dv =uv-\int v\,du
temos
\int t\,e^{t}\,dt =t\,e^{t}-\int e^{t}\,dt =t\,e^{t}-e^{t}+C =e^{t}(t-1)+C.

Passo 5

Retornando à variável x, onde t=\operatorname{sen} x, obtemos
2\int t\,e^{t}\,dt =2\bigl[e^{t}(t-1)\bigr]+C =2\,e^{\operatorname{sen} x}\bigl(\operatorname{sen} x-1\bigr)+C.

Resposta

\int \operatorname{sen}(2x)\,e^{\operatorname{sen} x}\,dx =2\,e^{\operatorname{sen} x}\bigl(\operatorname{sen} x-1\bigr)+C.

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