Encontre a solução geral de y^{i y}-y=0.

Passo 1

O enunciado pede as soluções complexas de
y^{\,i\,y}-y=0,
ou seja
y^{\,i\,y}=y.
O conteúdo chave aqui é manipular exponencial de base complexa e passar para uma equação transcendental usando logaritmos complexos.

Passo 2

Supondo y\neq0 e escolhendo um logaritmo complexo \ln y (com ramo infinito, de modo que \ln y difira por 2\pi i k), tomamos logaritmo em ambos os lados:
i\,y\,\ln y=\ln y+2\pi i k,\qquad k\in\mathbb Z.

Passo 3

Reorganizando temos
i\,y\,\ln y-\ln y=2\pi i k \quad\Longrightarrow\quad \ln y\,(i\,y-1)=2\pi i k.
Esta é a forma implícita da nossa equação:
\boxed{\ln y\,(i\,y-1)=2\pi i k,\quad k\in\mathbb Z.}

Passo 4

Para cada inteiro k\), as soluções são os \(y\in\mathbb C\) que satisfazem \[\ln y\,(i\,y-1)=2\pi i k.
Em particular, quando k=0 a equação fica
\ln y\,(i\,y-1)=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} \ln y=0\quad\Rightarrow\quad y=1,\\\ \text{ou}\\\ i\,y-1=0\quad\Rightarrow\quad y=-\,i. \end{cases}
Portanto, dois casos simples aparecem já em (k=0]:
y=1 \quad\text{e}\quad y=-\,i.

Passo 5

Para k\neq0 obtemos uma equação transcendental que, em princípio, pode ser resolvida em termos da função de Lambert W. Uma forma de escrevê-la é:
\ln y=\frac{2\pi i k}{\,i\,y-1\,},
o que leva, após algumas manipulações com substituições do tipo y=e^z e uso de z\,e^z=W(\cdot), a uma expressão explícita em ramos de W.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
\boxed{\ln y\,(i\,y-1)=2\pi i k,\quad k\in\mathbb Z,}
cujo caso mais simples ( k=0) gera as raízes
y=1 \quad\text{e}\quad y=-\,i.

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