Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral x(x^2-1)^3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x(x^2-1)^3 / 2 dx. Aqui estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como escolher uma boa substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da integral que está complicada: (x^2-1)^3 / 2. Isso sugere que podemos usar uma substituição que envolva u = x^2 - 1, porque a derivada de x^2 - 1 em relação a x é 2x, que já aparece no numerador.

Passo 3

Vamos definir u = x^2 - 1. Agora, calculamos a derivada de u em relação a x: dudx = 2x. Isso significa que du = 2x , dx, ou seja, x , dx = du2.

Passo 4

Substituindo u e dx na integral original, temos:
integral x(x^2-1)^3 / 2 dx = integral 1u^3/2 cdot du2 = 12 integral u^-3/2 du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-3/2. A integral de u^n é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração, desde que n neq -1. Então:
12 integral u^-3/2 du = 12 cdot ( u^-1/2-1/2 ) + C = -1raizu + C

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo u = x^2 - 1:
-1raizu + C = -1raizx^2 - 1 + C

Resposta

A integral é igual a $ -\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} + C $, onde -1raizx^2 - 1 + C é a constante de integração.

Exercícios relacionados