Calcular o volume:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do conjunto $ B $ definido por:
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de volumes usando integrais múltiplas, e para facilitar, vamos trabalhar com coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como transformar as desigualdades para esse sistema e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque temos termos como $ x^{2} + y^{2} $, que se tornam mais simples nesse sistema. Em coordenadas cilíndricas, substituímos:
E $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Isso vai facilitar a definição dos limites para $ r $ e $ \theta $.
Passo 3
Agora, vamos reescrever as desigualdades que definem $ B $ em coordenadas cilíndricas:
Isso simplifica a expressão e facilita a visualização dos limites superiores e inferiores para $ z $.
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração para $ r $, $ \theta $ e $ z $. Observando a segunda desigualdade:
Para que o radicando seja não negativo:
Portanto, $ r $ varia de 0 a $ \frac{2}{\sqrt{3}} $. $ \theta $ gira em torno de todo o círculo, então de 0 a $ 2\pi $. E $ z $ varia de $ r^{2} $ a $ \sqrt{4 - 3r^{2}} $.
Passo 5
Com os limites definidos, configuramos a integral tripla para calcular o volume $ V $:
Aqui, o fator $ r $ vem do jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Então, a integral fica:
Agora, integremos em relação a $ r $. Isso envolve duas partes:
- $ \int r \sqrt{4 - 3r^{2}} , dr $
- $ \int r^{3} , dr $
Resolvendo essas integrais e depois integrando em relação a $ \theta $, obtemos o valor do volume.
Resposta
Após calcular todas as integrais, o volume do conjunto $ B $ é: