Calcular o volume:
B=x^2+y^2 <= z <= raiz4-3 x^2-3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do conjunto $ B $ definido por:
B
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de volumes usando integrais múltiplas, e para facilitar, vamos trabalhar com coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como transformar as desigualdades para esse sistema e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque temos termos como $ x^{2} + y^{2} $, que se tornam mais simples nesse sistema. Em coordenadas cilíndricas, substituímos:
x^2 + y^2
E $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Isso vai facilitar a definição dos limites para $ r $ e $ \theta $.

Passo 3

Agora, vamos reescrever as desigualdades que definem $ B $ em coordenadas cilíndricas:
B
Isso simplifica a expressão e facilita a visualização dos limites superiores e inferiores para $ z $.

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração para $ r $, $ \theta $ e $ z $. Observando a segunda desigualdade:
r
Para que o radicando seja não negativo:
theta
Portanto, $ r $ varia de 0 a $ \frac{2}{\sqrt{3}} $. $ \theta $ gira em torno de todo o círculo, então de 0 a $ 2\pi $. E $ z $ varia de $ r^{2} $ a $ \sqrt{4 - 3r^{2}} $.

Passo 5

Com os limites definidos, configuramos a integral tripla para calcular o volume $ V $:
V
Aqui, o fator $ r $ vem do jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z
Então, a integral fica:
integralr^2^raiz4 - 3r^2 dz = raiz4 - 3r^2 - r^2
Agora, integremos em relação a $ r $. Isso envolve duas partes:
  1. $ \int r \sqrt{4 - 3r^{2}} , dr $
  2. $ \int r^{3} , dr $
Resolvendo essas integrais e depois integrando em relação a $ \theta $, obtemos o valor do volume.

Resposta

Após calcular todas as integrais, o volume do conjunto $ B $ é:
B

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