Calcule, usando a integral dupla, o volume dos seguintes sólidos:
S é o sólido no interior da esfera x^2+y^2+z^2=4 e do cilindro x^2+(y-1)^2=1 e acima do plano z=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S que está dentro da esfera
x^2+y^2+z^2=4,
dentro do cilindro
x^2+(y-1)^2=1
e acima do plano z=0.
Conteúdo: volume via integral dupla. Vamos projetar S no plano xy, encontrar a região R e usar
V=integral duplaR l(a<urar),dA =integral duplaR raiz4 - x^2-y^2;dA

Passo 2

Projetando em xy, a condição do cilindro vira
x^2+(y-1)^2<=1,
e a da esfera acima de z=0 só exige raiz4-x^2-y^2>=0, ou seja x^2+y^2<=4.
Como todo ponto de x^2+(y-1)^2<=1 tem raizx^2+y^2<=2, concluímos que
R=(x,y)mid x^2+(y-1)^2<=1

Passo 3

Usamos coordenadas polares ;x=rcostheta,;y=rsintheta.
No disco x^2+(y-1)^2<=1 vê-se
r^2-2rsintheta+1<=1 Longrightarrow 0<= r<=2sintheta,
com sintheta>=0, isto é thetain[0,pi].

Passo 4

Em polares a altura é raiz4-r^2 e dA=r,dr,dtheta. Logo
V=integraltheta=0^piintegralr=0^2sintheta r,raiz4-r^2;dr,dtheta

Passo 5

Calculemos primeiro
integral rraiz4-r^2;dr
Faça u=4-r^2, du=-2r,dr. Então
integral rraiz4-r^2,dr =-tfrac12integral u^1/2,du =-tfrac13,u^3/2 =-tfrac13l(4-r^2r)^3/2
Avaliado de 0 a 2sintheta
integral0^2sinthetarraiz4-r^2,dr =13l(8-l(4-4sin^2thetar)^3/2r) =13l(8-8|costheta|^3r) =83l(1-|costheta|^3r)

Passo 6

Agora
V=integral0^pi83l(1-|costheta|^3r),dtheta =83l[integral0^pi1,dtheta-integral0^pi|costheta|^3,dthetar]
Sabemos
integral0^pi1,dtheta=pi
e
integral0^pi|costheta|^3,dtheta =2integral0^pi/2cos^3theta,dtheta =2cdot23 =43
Logo
V=83l(pi-tfrac43r) =8(3pi-4)9

Resposta

V=8(3pi-4)9

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