Questão 4. Ache a solução do PVI dado.
d yd t=4(t^2+1), t(pi4)=1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o problema de valor inicial (PVI)
y' = 4(t^2 + 1),
com a condição y(pi/4)=1. O conteúdo envolve resolver EDOs de primeira ordem por integração direta.

Passo 2

A teoria aplicada diz que, para uma EDO do tipo y' = g(t), podemos integrar ambos os lados e obter a solução geral
y(t) = integral g(t) , dt + C

Passo 3

Integramos a função g(t)=4(t^2+1):
integral 4(t^2+1) , dt = 4 integral t^2 , dt + 4 integral 1 , dt = 4l(tfract^33 + tr) = tfrac43t^3 + 4t
Portanto, a solução geral é
y(t) = tfrac43t^3 + 4t + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(pi/4)=1. Substituindo na solução geral:
1 = tfrac43l(tfracpi4r)^3 + 4l(tfracpi4r) + C = tfracpi^348 + pi + C
Isolando C:
C = 1 - pi - tfracpi^348

Resposta

y(t) = tfrac43t^3 + 4t + 1 - pi - tfracpi^348

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