Calcule o volume do sólido limitado superiormente por
, inferiormente por
e lateralmente pela superficie definida pelo contorno da região
, limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que é limitado superiormente por
, inferiormente por
e lateralmente pelo contorno da região
no plano
limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas (lista):
- Superfícies:
(enunciado diz “superiormente”) e (enunciado diz “inferiormente”). - Região
é o conjunto de pontos com - As curvas se intersectam resolvendo
, que dá , logo . Portanto a projeção está contida no intervalo com variando entre as duas parábolas para cada .
O que precisamos calcular: o volume do sólido entre as duas superfícies sobre a região
. Note que é necessário verificar qual superfície está realmente acima (para integrar “topo − fundo”); se as superfícies se cruzam sobre
teremos de partir a região onde muda a ordem.
Passo 2
Estratégia geral (sem executar ainda): o volume entre duas superfícies é dado por
Se uma superfície
está acima da outra
em todo
, então
Primeiro passo prático: calcular a diferença das superfícies indicada pelo enunciado para ver se é não-negativa (ou não) em todo
. Calculemos
Para cada
devemos saber o sinal de
. Se for positivo em todo
, usamos
; se for negativo em todo
usamos
; se muda de sinal, devemos dividir
em partes onde o sinal é constante.
A linha onde as superfícies se igualam (onde
) é
Essa reta corta a região
, então a ordem das superfícies muda em partes de
. Concluímos que temos que partir a integração conforme a interseção da reta com o contorno de
.
Passo 3
Determinar onde a reta
corta as curvas que limitam
.
Interseção com
:
As raízes são
A relevante no intervalo
é
Interseção com
:
A raiz relevante em
é
Assim a reta entra e sai de
em
e
. Para organizar a integração em
(método mais direto aqui), dividimos o intervalo de
em três partes:
- Para
: em todo o segmento de entre e tem-se (ou seja, ). Então a superfície realmente superior é e a inferior é . - Para
: a reta de igualdade corta o intervalo de , então para abaixo da reta e para acima da reta . Precisamos dividir a integração em neste trecho. - Para
: em todo o segmento temos , isto é, está acima de .
Portanto escreveremos o volume como soma de três integrais (correspondentes aos três intervalos de
), cuidando do sinal de
em cada parte.
Passo 4
Escrever as integrais explícitas.
Diferença geral (conforme enunciado):
.
Para manter notação prática, denote
Volume como soma:
Calculamos a primitiva em
de
:
Denotando
, a integral em
entre
e
(sem considerar sinal) é
Vamos calcular explicitamente essa diferença para simplificar as integrais em
.
Calcule
com
:
Calcule
com
:
Portanto a diferença (integral em
sem sinal) é
Isto é,
.
Observação: quando
for negativo em todo o intervalo em
, a contribuição do bloco em
será
; quando
for positivo em todo o intervalo será
; quando houver mudança de sinal (no trecho
) a contribuição é
Calculamos
com
:
Substituindo e simplificando (álgebra direta) obtemos que a contribuição no trecho médio é a função polinomial
Portanto as integrais em
que precisamos calcular são polinomiais e agora só resta integrá-las e avaliar nos limites.
Passo 5
Antiderivadas em
usadas:
- Antiderivada de
:
- Antiderivada de
:
Agora escrevemos o volume usando essas antiderivadas:
Somando os termos:
Calculamos
e
diretamente:
Logo
.
Portanto
Agora precisamos avaliar
. Para evitar manipulações de potências altas vamos usar as relações quadráticas satisfeitas por
e
.
Passo 6
Usar as equações satisfeitas por
e
para reduzir potências:
Para
vale
. A partir daí obtém-se (redução de potências):
Substituindo nas expressões de
e
e simplificando obtemos (álgebra direta):
Para
vale
. A partir daí obtemos:
Substituindo em
e
e simplificando:
Agora voltamos à fórmula
e substituímos as expressões obtidas. Agrupando e simplificando os coeficientes das partes que multiplicam
, as que multiplicam
e as constantes, chegamos (passo algébrico direto) a
Finalmente substituímos as expressões exatas de
e
:
Substituindo e simplificando obtemos a forma exata final
(É conveniente escrever tudo sobre um denominador comum; multiplicando numerador e denominador resulta também)
Uma aproximação numérica: