Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z=2 x+y+4, inferiormente por z=-x-y+2 e lateralmente pela superficie definida pelo contorno da região D, limitada pelas curvas y=x^{2}-4 e y=\frac{x^{2}}{2}-2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que é limitado superiormente por z=2x+y+4, inferiormente por z=-x-y+2 e lateralmente pelo contorno da região D no plano xy limitada pelas curvas y=x^{2}-4 e y=\dfrac{x^{2}}{2}-2.
Informações dadas (lista):
  • Superfícies: z_{\text{1}}(x,y)=2x+y+4 (enunciado diz “superiormente”) e z_{\text{2}}(x,y)=-x-y+2 (enunciado diz “inferiormente”).
  • Região D é o conjunto de pontos (x,y) com x^{2}-4 \le y \le \frac{x^{2}}{2}-2.
  • As curvas se intersectam resolvendo x^{2}-4=\dfrac{x^{2}}{2}-2, que dá x^{2}=4, logo x=\pm 2. Portanto a projeção D está contida no intervalo x\in[-2,2] com y variando entre as duas parábolas para cada x.
O que precisamos calcular: o volume do sólido entre as duas superfícies sobre a região D. Note que é necessário verificar qual superfície está realmente acima (para integrar “topo − fundo”); se as superfícies se cruzam sobre D teremos de partir a região onde muda a ordem.

Passo 2

Estratégia geral (sem executar ainda): o volume entre duas superfícies é dado por
V=\iint_{D} \big(\text{altura entre as superfícies}\big)\,dA.í
Se uma superfície z_{\text{top}} está acima da outra z_{\text{bot}} em todo D, então
V=\iint_{D}\big(z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}\big)\,dA.
Primeiro passo prático: calcular a diferença das superfícies indicada pelo enunciado para ver se é não-negativa (ou não) em todo D. Calculemos
\Delta(x,y)=\big(2x+y+4\big)-\big(-x-y+2\big)=3x+2y+2.
Para cada (x,y)\in D devemos saber o sinal de \Delta(x,y). Se for positivo em todo D, usamos \Delta; se for negativo em todo D usamos -\Delta; se muda de sinal, devemos dividir D em partes onde o sinal é constante.
A linha onde as superfícies se igualam (onde \Delta=0) é
3x+2y+2=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-\tfrac{3}{2}x-1.
Essa reta corta a região D, então a ordem das superfícies muda em partes de D. Concluímos que temos que partir a integração conforme a interseção da reta com o contorno de D.

Passo 3

Determinar onde a reta y=-\tfrac{3}{2}x-1 corta as curvas que limitam D.
Interseção com y=\dfrac{x^{2}}{2}-2:
\frac{x^{2}}{2}-2 = -\frac{3}{2}x-1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+3x-2=0.
As raízes são
x_{a}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\quad\text{e}\quad x=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}.
A relevante no intervalo [-2,2] é
a=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\approx 0{,}5615528.
Interseção com y=x^{2}-4:
x^{2}-4 = -\frac{3}{2}x-1 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}+3x-6=0.
A raiz relevante em [-2,2] é
b=\frac{-3+\sqrt{57}}{4}\approx 1{,}1374586.
Assim a reta entra e sai de D em x=a e x=b. Para organizar a integração em x (método mais direto aqui), dividimos o intervalo de x em três partes:
  • Para x\in[-2,a]: em todo o segmento de y entre y_{1}=x^{2}-4 e y_{2}=\dfrac{x^{2}}{2}-2 tem-se \Delta<0 (ou seja, 2x+y+4 < -x-y+2). Então a superfície realmente superior é z=-x-y+2 e a inferior é z=2x+y+4.
  • Para x\in[a,b]: a reta de igualdade corta o intervalo de y, então para y abaixo da reta \Delta<0 e para y acima da reta \Delta>0. Precisamos dividir a integração em y neste trecho.
  • Para x\in[b,2]: em todo o segmento y_{1}\le y\le y_{2} temos \Delta>0, isto é, z=2x+y+4 está acima de z=-x-y+2.
Portanto escreveremos o volume como soma de três integrais (correspondentes aos três intervalos de x), cuidando do sinal de \Delta em cada parte.

Passo 4

Escrever as integrais explícitas.
Diferença geral (conforme enunciado): \Delta(x,y)=3x+2y+2.
Para manter notação prática, denote
y_{1}(x)=x^{2}-4,\qquad y_{2}(x)=\frac{x^{2}}{2}-2,\qquad y_{\ell}(x)=-\frac{3}{2}x-1.
Volume como soma:
V=\int_{x=-2}^{a}\int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}\big[-\Delta(x,y)\big]\,dy\,dx +\int_{x=a}^{b}\Big(\int_{y_{1}(x)}^{y_{\ell}(x)}\big[-\Delta(x,y)\big]\,dy + \int_{y_{\ell}(x)}^{y_{2}(x)}\Delta(x,y)\,dy\Big)\,dx +\int_{x=b}^{2}\int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}\Delta(x,y)\,dy\,dx.
Calculamos a primitiva em y de \Delta:
\int (3x+2y+2)\,dy = 3x y + y^{2} + 2y + C.
Denotando F(x,y)=3x y + y^{2} + 2y, a integral em y entre y_{1} e y_{2} (sem considerar sinal) é
F(x,y_{2}(x)) - F(x,y_{1}(x)).
Vamos calcular explicitamente essa diferença para simplificar as integrais em x.
Calcule F(x,y_{2}) com y_{2}=\dfrac{x^{2}}{2}-2:
F(x,y_{2})=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{3}{2}x^{3}-x^{2}-6x.
Calcule F(x,y_{1}) com y_{1}=x^{2}-4:
F(x,y_{1})=x^{4}+3x^{3}-6x^{2}-12x+8.
Portanto a diferença (integral em y sem sinal) é
P(x)=F(x,y_{2})-F(x,y_{1}) = -\frac{3}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^{3}+5x^{2}+6x-8.
Isto é, \displaystyle \int_{y_{1}}^{y_{2}}(3x+2y+2)\,dy = P(x).
Observação: quando \Delta for negativo em todo o intervalo em y, a contribuição do bloco em x será -P(x); quando \Delta for positivo em todo o intervalo será +P(x); quando houver mudança de sinal (no trecho x\in[a,b]) a contribuição é
\int_{y_{1}}^{y_{\ell}}-(3x+2y+2)\,dy + \int_{y_{\ell}}^{y_{2}}(3x+2y+2)\,dy =F(x,y_{2})+F(x,y_{1})-2F(x,y_{\ell}).
Calculamos F(x,y_{\ell}) com y_{\ell}=-\tfrac{3}{2}x-1:
F(x,y_{\ell})=-\frac{9}{4}x^{2}-3x-1.
Substituindo e simplificando (álgebra direta) obtemos que a contribuição no trecho médio é a função polinomial
A(x)=\frac{5}{4}x^{4}+\frac{9}{2}x^{3}-\frac{5}{2}x^{2}-12x+10.
Portanto as integrais em x que precisamos calcular são polinomiais e agora só resta integrá-las e avaliar nos limites.

Passo 5

Antiderivadas em x usadas:
  • Antiderivada de P(x):
R(x)=\int P(x)\,dx = -\frac{3}{20}x^{5} -\frac{3}{8}x^{4} +\frac{5}{3}x^{3} +3x^{2} -8x.
  • Antiderivada de A(x):
S(x)=\int A(x)\,dx = \frac{1}{4}x^{5} +\frac{9}{8}x^{4} -\frac{5}{6}x^{3} -6x^{2} +10x.
Agora escrevemos o volume usando essas antiderivadas:
\begin{aligned} V &= \big[\, -R(x)\,\big]_{x=-2}^{x=a} + \big[\, S(x)\,\big]_{x=a}^{x=b} + \big[\, R(x)\,\big]_{x=b}^{x=2} \\\ &= \big(R(-2)-R(a)\big) + \big(S(b)-S(a)\big) + \big(R(2)-R(b)\big). \end{aligned}
Somando os termos:
V = R(2)+R(-2) -R(a)-R(b) + S(b)-S(a).
Calculamos R(2) e R(-2) diretamente:
R(2)=-\frac{22}{15},\qquad R(-2)=\frac{202}{15}.
Logo R(2)+R(-2)=12.
Portanto
V = 12 -\big(R(a)+R(b)\big) + \big(S(b)-S(a)\big).
Agora precisamos avaliar R(a),S(a),R(b),S(b). Para evitar manipulações de potências altas vamos usar as relações quadráticas satisfeitas por a e b.

Passo 6

Usar as equações satisfeitas por a e b para reduzir potências:
Para a vale a^{2}+3a-2=0. A partir daí obtém-se (redução de potências):
\begin{aligned} a^{2} &= -3a+2,\\\ a^{3} &= 11a-6,\\\ a^{4} &= -39a+22,\\\ a^{5} &= 139a-78. \end{aligned}
Substituindo nas expressões de R(a) e S(a) e simplificando obtemos (álgebra direta):
R(a) = -\frac{587}{120}\,a -\frac{11}{20},\qquad S(a) = \frac{233}{24}\,a -\frac{7}{4}.
Para b vale 2b^{2}+3b-6=0. A partir daí obtemos:
\begin{aligned} b^{2} &= \frac{-3b+6}{2},\\\ b^{3} &= \frac{21b-18}{4},\\\ b^{4} &= \frac{-99b+126}{8},\\\ b^{5} &= \frac{549b-594}{16}. \end{aligned}
Substituindo em R(b) e S(b) e simplificando:
R(b) = -\frac{681}{160}\,b +\frac{93}{80},\qquad S(b) = \frac{297}{32}\,b -\frac{93}{16}.
Agora voltamos à fórmula
V = 12 -\big(R(a)+R(b)\big) + \big(S(b)-S(a)\big),
e substituímos as expressões obtidas. Agrupando e simplificando os coeficientes das partes que multiplicam a, as que multiplicam b e as constantes, chegamos (passo algébrico direto) a
V = -\frac{289}{60}\,a + \frac{1083}{80}\,b + \frac{293}{40}.
Finalmente substituímos as expressões exatas de a e b:
a=\frac{-3+\sqrt{17}}{2},\qquad b=\frac{-3+\sqrt{57}}{4}.
Substituindo e simplificando obtemos a forma exata final
V=\frac{1407}{320} - \frac{289}{120}\sqrt{17} + \frac{1083}{320}\sqrt{57}.
(É conveniente escrever tudo sobre um denominador comum; multiplicando numerador e denominador resulta também)
V=\frac{4221 +3249\sqrt{57} -2312\sqrt{17}}{960}.
Uma aproximação numérica:
V\approx 20{,}02\\ \text{(unidades cúbicas, aproximação)}.úçã

Resposta

V=\frac{1407}{320} - \frac{289}{120}\sqrt{17} + \frac{1083}{320}\sqrt{57}=\frac{4221 +3249\sqrt{57} -2312\sqrt{17}}{960}\approx 20{,}02

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