Calcule usando Laplace:
|cccc6 & -2 & -1 & 0 1 & 0 & 5 & -3 2 & 0 & 4 & 1 3 & 7 & -2 & -1|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 4times4 usando a expansão de Laplace (ou cofatores). Nesse método, escolhemos uma linha ou coluna que simplifique os cálculos (idealmente com zeros) e aplicamos
det(A)=sumi=1^n(-1)^i+j,ai j,det(Mi j),
onde ai j é o elemento da matriz e Mi j é o menor obtido eliminando a linha i e a coluna j.

Passo 2

Observamos a coluna 2 da matriz
6 & -2 & -1 & 0 1 & 0 & 5 & -3 2 & 0 & 4 & 1 3 & 7 & -2 & -1
porque tem dois zeros em a2,2 e a3,2. Assim só precisamos dos termos com a1,2=-2 e a4,2=7. Logo
det(A) =(-1)^1+2(-2)detl(M1,2r) +(-1)^4+2,(7)detl(M4,2r)

Passo 3

Calculamos o primeiro termo. O sinal é
(-1)^1+2=-1,
então o coeficiente de det(M1,2) é -1cdot(-2)=2. O menor M1,2 vem de eliminar linha 1 e coluna 2, ficando a matriz
M1,2 = 1 & 5 & -3 2 & 4 & 1 3 & -2 & -1
Agora seu determinante por regra de Sarrus ou expansão é
det(M1,2) =14 & 1-2 & -1 -52 & 13 & -1 +(-3)2 & 43 & -2
Calculando cada ,2times2:
4 & 1-2 & -1 =4cdot(-1)-1cdot(-2)=-4+2=-2, 2 & 13 & -1 =2cdot(-1)-1cdot3=-2-3=-5,
2 & 43 & -2 =2cdot(-2)-4cdot3=-4-12=-16
Então
det(M1,2) =1cdot(-2)-5cdot(-5)+(-3)cdot(-16) =-2+25+48=71
O primeiro termo vale
2cdot71=142

Passo 4

Agora o segundo termo. O sinal é
(-1)^4+2=+1,
então o coeficiente de det(M4,2) é +7. O menor M4,2 vem de eliminar linha 4 e coluna 2, ficando
M4,2 = 6 & -1 & 0 1 & 5 & -3 2 & 4 & 1
Expansão pela primeira linha (porque tem um zero):
det(M4,2) =65 & -34 & 1 -(-1)1 & -32 & 1
Calculando os 2times2:
5 & -34 & 1 =5cdot1-(-3)cdot4=5+12=17, 1 & -32 & 1 =1cdot1-(-3)cdot2=1+6=7
Logo
det(M4,2) =6cdot17 +1cdot7=102+7=109
O segundo termo vale
7cdot109=763

Passo 5

Somamos os dois termos da expansão:
det(A)=142+763=905

Resposta

905

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