Ex. 24: Encontre as equações da reta de interseção dos planos não-paralelos abaixo:
pi1: 5 x-2 y+z+7=0 e pi2: 3 x-3 y+z+4=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a reta de interseção de dois planos não paralelos
pi1:5x-2y+z+7=0 e pi2:3x-3y+z+4=0.
O conteúdo aqui é geometria analítica em 3D: dois planos se cortam numa reta, que podemos obter achando um vetor diretor (produto vetorial dos normais) e um ponto comum.

Passo 2

Os vetores normais aos planos são
n1=(5,-2,1), n2=(3,-3,1)
O vetor diretor da reta é
v = n1times n2 = i&j&k 5&-2&1 3&-3&1 = ( (-2)cdot1 - 1cdot(-3),;1cdot3 - 5cdot1,;5cdot(-3) - (-2)cdot3 ) = (1,-2,-9)

Passo 3

Para achar um ponto P=(x,y,z) na interseção, resolvemos o sistema formado por pi1 e pi2. Subtraindo pi2 de pi1 eliminamos z:
(5x-2y+z+7) - (3x-3y+z+4)=0 ;Longrightarrow; 2x + y +3=0 ;Longrightarrow; y=-2x-3
Substituindo em pi2:
3x -3(-2x-3) + z +4=0 ;Longrightarrow; 3x+6x+9+z+4=0 ;Longrightarrow; 9x+z+13=0 ;Longrightarrow; z=-9x-13
Escolhendo x=t, temos
y=-2t-3, z=-9t-13
Em particular, para t=0 surge o ponto P=(0,-3,-13), que de fato satisfaz os dois planos.

Passo 4

Agora escrevemos a reta em forma paramétrica e simétrica.
Forma paramétrica:
x=t, y=-2t-3, z=-9t-13
Forma vetorial:
(x,y,z)=(0,-3,-13)+t,(1,-2,-9)
Forma simétrica:
x-01=y+3-2=z+13-9

Resposta

A reta de interseção é dada por
(x,y,z)=(0,-3,-13)+t,(1,-2,-9)
ou, equivalentemente,
x1=y+3-2=z+13-9

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