Calcule usando Laplace:
|crcc2 & 3 & 1 & -2 -1 & 2 & 0 & 0 2 & 3 & 0 & 0 1 & -2 & 0 & 4|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = 2 & 3 & 1 & -2 -1& 2 & 0 & 0 2 & 3 & 0 & 0 1 & -2& 0 & 4
usando a regra de Laplace (expansão por cofactores). Para isso vamos escolher uma linha ou coluna que torne o cálculo mais simples, preferindo aquela com mais zeros.

Passo 2

Observando A, a terceira coluna tem apenas um elemento não nulo: a1,3=1. Então vamos expandir o determinante por essa coluna:
det A = sumi=1^4 ai,3,(-1)^i+3det(Ai,3)
onde Ai,3 é a matriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna 3. Como a2,3=a3,3=a4,3=0, sobra apenas o termo i=1.

Passo 3

Assim,
det A = a1,3,(-1)^1+3det(A1,3) = 1cdot(-1)^4,det(A1,3) = det(A1,3)
O menor A1,3 é a matriz 3times3 que sobra ao tirar a primeira linha e a terceira coluna de A:
A1,3 = -1 & 2 & 0 2 & 3 & 0 1 & -2& 4

Passo 4

Vamos agora calcular det(A1,3). De novo há muitos zeros na terceira coluna desse menor, então expandimos por ela:
det(A1,3) = sumi=1^3 (A1,3)i,3,(-1)^i+3detl((A1,3)i,3r)
Só o elemento (A1,3)3,3=4 é não nulo, com sinal (-1)^3+3=+1. Logo
det(A1,3) = 4cdotdetl((A1,3)3,3r),
onde (A1,3)3,3 é o menor 2times2 ao eliminar linha 3 e coluna 3 de A1,3:
(A1,3)3,3 = -1 & 2 2 & 3

Passo 5

Calculamos agora o determinante desse 2times2:
det -1 & 2 2 & 3 = (-1)cdot 3 - 2cdot 2 = -3 - 4 = -7
Então
det(A1,3) = 4 times (-7) = -28

Resposta

-28

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