Calcule as derivadas:
y^{3} \operatorname{tg}(y)=\frac{x-y}{x+y}, y=y(x) \quad \text { (derivação implícita) }çãí

Passo 1

Enunciado: y^{3}\tan(y)=\dfrac{x-y}{x+y}, com y=y(x) (derivação implícita).
O que se pede: calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} (ou y').
Informações dadas e observações importantes:
  • A igualdade relaciona x e y, sendo y função de x.
  • Temos um produto no lado esquerdo \;y^{3}\tan(y)\; e um quociente no lado direito \;\dfrac{x-y}{x+y}\;.
  • Irei diferenciar ambos os lados em relação a x e depois isolar y'.
  • Atenção às condições óbvias: x+y\neq 0 (denominador) e \cos(y)\neq 0 quando usarmos \operatorname{sec}(y) (derivada de \tan).

Passo 2

Derivando o lado esquerdo por x. Primeiro relembrar regras usadas (mini-aula rápida):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+uv'.
  • Regra da cadeia: se y=y(x), \dfrac{d}{dx}[\tan(y)]=\operatorname{sec}^{2}(y)\cdot y'.
  • Derivada de y^{3} em relação a x é 3y^{2}\cdot y' (regra da potência + cadeia).
Aplicando a regra do produto em \;y^{3}\tan(y)\;:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\tan(y)\bigr)=\bigl(3y^{2}y'\bigr)\tan(y)+y^{3}\bigl(\operatorname{sec}^{2}(y)\,y'\bigr).
Agora podemos fatorar y':
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\tan(y)\bigr)=y'\bigl(3y^{2}\tan(y)+y^{3}\operatorname{sec}^{2}(y)\bigr).

Passo 3

Derivando o lado direito \dfrac{x-y}{x+y}. Vou usar a regra do quociente: se u=\!x-y e v=\!x+y, então
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Calcule u' e v':
u'=1-y',\qquad v'=1+y'.
Substituindo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x-y}{x+y}\right) =\frac{(1-y')(x+y)-(x-y)(1+y')}{(x+y)^{2}}.
Agora expandimos e simplificamos o numerador passo a passo:
(1-y')(x+y)=x+y-x y'-y y',
(x-y)(1+y')=x-y+ x y' - y y'.
Subtraindo:
[x+y-x y'-y y'] - [x-y+ x y' - y y'].
Cancelando termos iguais e agrupando:
x+y-x y'-y y' -x +y - x y' + y y' = 2y -2x y'.
Portanto
\frac{d}{dx}\left(\frac{x-y}{x+y}\right)=\frac{2y-2x y'}{(x+y)^{2}}.

Passo 4

Agora igualamos as derivadas dos dois lados:
y'\bigl(3y^{2}\tan(y)+y^{3}\operatorname{sec}^{2}(y)\bigr)=\frac{2y-2x y'}{(x+y)^{2}}.
Queremos isolar y'. Primeiro passamos o termo com y' do denominador para o mesmo lado:
y'\bigl(3y^{2}\tan(y)+y^{3}\operatorname{sec}^{2}(y)\bigr)+\frac{2x y'}{(x+y)^{2}}=\frac{2y}{(x+y)^{2}}.

Passo 5

Fatoramos y' no lado esquerdo:
y'\left(3y^{2}\tan(y)+y^{3}\operatorname{sec}^{2}(y)+\frac{2x}{(x+y)^{2}}\right)=\frac{2y}{(x+y)^{2}}.
Dividindo ambos os lados pelo parêntese que multiplica y', obtemos
y'=\frac{\dfrac{2y}{(x+y)^{2}}}{\,3y^{2}\tan(y)+y^{3}\operatorname{sec}^{2}(y)+\dfrac{2x}{(x+y)^{2}}\,}.

Passo 6

Podemos limpar a fração multiplicando numerador e denominador por (x+y)^{2} (isso facilita a leitura e evita fração dentro de fração). Multiplicando, vem:
y'=\frac{2y}{(x+y)^{2}\bigl(3y^{2}\tan(y)+y^{3}\operatorname{sec}^{2}(y)\bigr)+2x}.
Também podemos, se quisermos, fatorar y^{2} no trecho do parêntese:
3y^{2}\tan(y)+y^{3}\operatorname{sec}^{2}(y)=y^{2}\bigl(3\tan(y)+y\operatorname{sec}^{2}(y)\bigr),
mas a forma anterior já é suficientemente clara para a resposta.

Resposta

y'=\frac{\dfrac{2y}{(x+y)^{2}}}{\,3y^{2}\tan(y)+y^{3}\operatorname{sec}^{2}(y)+\dfrac{2x}{(x+y)^{2}}\,}
\text{ou} \qquad y'=\frac{2y}{(x+y)^{2}\bigl(3y^{2}\tan(y)+y^{3}\operatorname{sec}^{2}(y)\bigr)+2x}.

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