Calcule as derivadas:
Passo 1
Enunciado:
, com
(derivação implícita).
O que se pede: calcular a derivada (ou
).
Informações dadas e observações importantes:
O que se pede: calcular a derivada
Informações dadas e observações importantes:
- A igualdade relaciona
e , sendo função de . - Temos um produto no lado esquerdo
e um quociente no lado direito - Irei diferenciar ambos os lados em relação a
e depois isolar . - Atenção às condições óbvias:
(denominador) e quando usarmos (derivada de ).
Passo 2
Derivando o lado esquerdo por
. Primeiro relembrar regras usadas (mini-aula rápida):
- Regra do produto: se
e são funções, . - Regra da cadeia: se
, . - Derivada de
em relação a é (regra da potência + cadeia).
Aplicando a regra do produto em
Agora podemos fatorar
:
Passo 3
Derivando o lado direito
. Vou usar a regra do quociente: se
e
, então
Calcule
e
:
Substituindo:
Agora expandimos e simplificamos o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Cancelando termos iguais e agrupando:
Portanto
Passo 4
Agora igualamos as derivadas dos dois lados:
Queremos isolar
. Primeiro passamos o termo com
do denominador para o mesmo lado:
Passo 5
Fatoramos
no lado esquerdo:
Dividindo ambos os lados pelo parêntese que multiplica
, obtemos
Passo 6
Podemos limpar a fração multiplicando numerador e denominador por
(isso facilita a leitura e evita fração dentro de fração). Multiplicando, vem:
Também podemos, se quisermos, fatorar
no trecho do parêntese:
mas a forma anterior já é suficientemente clara para a resposta.