Verifique se
é derivável em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
Ponto específico a analisar: (x=0]. Não há outras condições extras. Vou usar apenas essas informações.]
Passo 2
Primeiro, lembrar a definição de derivada num ponto: a derivada de
em
(se existir) é
Quando essa limite existe, chamamos
de derivável em
. Uma observação útil: se
é derivável em
então
é contínua em
. Por isso faz sentido primeiro verificar a continuidade em
antes de calcular derivadas laterais.
Passo 3
Calcular
e os limites laterais para testar continuidade.
O valor em
é dado pela definição para
, então
Limite pela direita (
): para
usamos
, então
Limite pela esquerda (
): para
usamos
, então
Como os limites lateral esquerdo e direito são iguais e iguais a
, concluímos que
é contínua em
. (Continuidade verificada; próximo passo: derivadas laterais.)
Passo 4
Calcular a derivada pela direita em
(derivada lateral direita). Definição:
Para
usamos
, e
, então
Portanto
Passo 5
Calcular a derivada pela esquerda em
(derivada lateral esquerda). Definição:
Para
usamos
, assim
Precisamos do limite
. Esse limite é bem conhecido e vale
. Uma maneira de ver isso é aplicar a regra de L’Hôpital (numerador e denominador tendem a
quando
); derivando numerador e denominador em relação a
obtemos
Portanto
Passo 6
Resumo dos resultados das derivadas laterais:
Os dois limites laterais da diferença quociente existem, mas têm valores diferentes.
Resposta
Não,
não é derivável em
.