Verifique se f é derivável em x=0.
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text { se } x \geq 0 \\\ e^{x}-1, & \text { se } x<0 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se f\) é derivável em \(x=0\). As informações dadas são: \[f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text{se } x \geq 0,\\[4pt] e^{x}-1, & \text{se } x<0.\end{cases}
Ponto específico a analisar: (x=0]. Não há outras condições extras. Vou usar apenas essas informações.]

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição de derivada num ponto: a derivada de f em x=0 (se existir) é
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Quando essa limite existe, chamamos f de derivável em 0. Uma observação útil: se f é derivável em 0 então f é contínua em 0. Por isso faz sentido primeiro verificar a continuidade em 0 antes de calcular derivadas laterais.

Passo 3

Calcular f(0) e os limites laterais para testar continuidade.
O valor em 0 é dado pela definição para x\ge 0, então
f(0)=0^{2}=0.
Limite pela direita ( x\to 0^{+}): para x>0 usamos f(x)=x^{2}, então
\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}x^{2}=0.
Limite pela esquerda ( x\to 0^{-}): para x<0 usamos f(x)=e^{x}-1, então
\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\bigl(e^{x}-1\bigr)=e^{0}-1=0.
Como os limites lateral esquerdo e direito são iguais e iguais a f(0), concluímos que f é contínua em 0. (Continuidade verificada; próximo passo: derivadas laterais.)

Passo 4

Calcular a derivada pela direita em 0 (derivada lateral direita). Definição:
f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Para h>0 usamos f(h)=h^{2}, e f(0)=0, então
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^{2}-0}{h}=h.
Portanto
f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}h=0.

Passo 5

Calcular a derivada pela esquerda em 0 (derivada lateral esquerda). Definição:
f'_{-}(0)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Para h<0 usamos f(h)=e^{h}-1, assim
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{e^{h}-1-0}{h}=\frac{e^{h}-1}{h}.
Precisamos do limite \lim_{h\to 0^{-}}\dfrac{e^{h}-1}{h}. Esse limite é bem conhecido e vale 1. Uma maneira de ver isso é aplicar a regra de L’Hôpital (numerador e denominador tendem a 0 quando h\to 0); derivando numerador e denominador em relação a h obtemos
\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}}{1}=e^{0}=1.
Portanto
f'_{-}(0)=1.

Passo 6

Resumo dos resultados das derivadas laterais:
f'_{+}(0)=0,\qquad f'_{-}(0)=1.
Os dois limites laterais da diferença quociente existem, mas têm valores diferentes.

Resposta

Não, f não é derivável em x=0.

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