Calcule
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{3}{x^{2}-x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite lateral
\lim_{x\to 0^-} \frac{3}{x^{2}-x}.
Informações dadas:
  • O numerador é a constante \,3.
  • O denominador é o polinômio \,x^{2}-x.
  • O limite é pela esquerda de x em relação a 0, ou seja, x aproxima-se de 0 por valores negativos ( x<0).

Passo 2

Vamos simplificar o denominador para entender melhor seu comportamento próximo de 0. Fatorando x^{2}-x tirando x em evidência, temos
x^{2}-x = x(x-1).
Explicação didática: para fatorar, reconhecemos que ambos os termos x^{2} e -x têm um fator comum x. Então dividimos cada termo por x e escrevemos o produto x vezes o que sobra: x\cdot(x-1).

Passo 3

Agora analisamos o sinal e o tamanho do denominador quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( x\to 0^-, isto é, x<0 e |x| pequeno).
  • Para x<0 temos \,x<0.
  • Para x<0 também temos \,x-1<0 (porque x-1 é ainda mais negativo).
  • O produto de dois números negativos é positivo, logo para x<0 o denominador x(x-1) é positivo:
x(x-1)>0\quad\text{quando }x<0.
Quanto ao tamanho: quando x\to 0 temos \,x-1\to -1. Assim o comportamento do produto é dominado por x:
x(x-1)\approx x\cdot(-1)=-x.
Como x\to 0^-, -x>0 e -x\to 0^+. Portanto o denominador tende a 0 vindo do lado positivo; escrevemos
x^{2}-x = x(x-1) \to 0^{+}\quad\text{quando }x\to 0^{-}.

Passo 4

Agora observamos a fração \dfrac{3}{x^{2}-x}. O numerador é a constante positiva \,3. Pelo passo anterior, o denominador tende a 0^{+} quando x\to 0^{-}. Dividir uma constante positiva por um número que tende a zero positivo faz a razão crescer sem limite, isto é, tende a +\infty.
Para ficar mais concreto, podemos tomar uma sequência de exemplos: escolha x_{n}=-\dfrac{1}{n} com n\in\mathbb{N} e n\to\infty. Então
x_{n}^{2}-x_{n} = \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n} = \frac{1+n}{n^{2}}\sim\frac{1}{n}
para n grande, e
\frac{3}{x_{n}^{2}-x_{n}}\sim \frac{3}{1/n}=3n\to +\infty.
Isso confirma que, ao aproximarmos x de 0 pela esquerda, a expressão cresce sem limite e é positiva.

Passo 5

Conclusão: como o denominador tende a zero pelo lado positivo e o numerador é 3>0, a razão tende a +\infty. Em linguagem de limites, dizemos que o limite diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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