1. Calcule, usando o método de 1 / 3 de Simpson com m=2, a integral
\int_{0}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen}(x-y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sen}(x - y)\,dy\,dx
usando o método de 1/3 de Simpson em cada direção com m=2.
Isso significa aplicar a regra de Simpson em x (de 0 a \pi) e em y (de -\pi a \pi) de forma “tensorial”.

Passo 2

Dividimos cada intervalo em 2 subintervalos iguais, gerando 3 pontos em cada direção:
em x:
x_0=0,\quad x_1=\frac{\pi}{2},\quad x_2=\pi,
com passo
h_x=\frac{\pi-0}{2}=\frac{\pi}{2}.
em y:
y_0=-\pi,\quad y_1=0,\quad y_2=\pi,
com passo
h_y=\frac{\pi-(-\pi)}{2}=\pi.

Passo 3

Calculamos f_{ij}= \operatorname{sen}(x_i - y_j) para i,j=0,1,2:
em x_0=0:
\operatorname{sen}(0-(-\pi))=\operatorname{sen}\pi=0,\quad \operatorname{sen}(0-0)=0,\quad \operatorname{sen}(0-\pi)=0.
em x_1=\tfrac{\pi}{2}:
\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-(-\pi)\bigr)=\operatorname{sen}\tfrac{3\pi}{2}=-1,\quad \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-0\bigr)=1,\quad \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\pi\bigr)=\operatorname{sen}(-\tfrac{\pi}{2})=-1.
em x_2=\pi:
\operatorname{sen}(\pi-(-\pi))=\sen2\pi=0,\quad \operatorname{sen}(\pi-0)=0,\quad \operatorname{sen}(\pi-\pi)=0.

Passo 4

Na regra de Simpson bidimensional, usamos coeficientes
c_0=c_2=1,\quad c_1=4
em cada direção, e a fórmula é
\iint f\,dx\,dy \approx \frac{h_x\,h_y}{9} \sum_{i=0}^2\sum_{j=0}^2 c_i\,c_j\,f_{ij}.
Somando os produtos c_i c_j f_{ij}:
apenas a linha i=1 dá contribuição não nula, pois na prática
c_1\bigl(c_0f_{10}+c_1f_{11}+c_2f_{12}\bigr) =4\bigl(1\cdot(-1)+4\cdot1+1\cdot(-1)\bigr) =4\cdot2=8.
Todas as outras linhas somam zero.

Passo 5

Multiplicamos pelo fator fora da soma:
h_x\,h_y= \frac{\pi}{2}\times\pi = \frac{\pi^2}{2},
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\frac{h_x\,h_y}{9}\times 8 = \frac{\pi^2}{2}\cdot\frac{8}{9} = \frac{4\pi^2}{9}.

Resposta

A aproximação da integral pelo método de 1/3 de Simpson com m=2 em cada direção é
\boxed{\frac{4\pi^2}{9}\approx 4{,}3865.}

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